在這篇筆記中我們簡(jiǎn)要介紹一些與視頻中的曲線族相關(guān)的平面幾何學(xué)。

視頻中位于第一象限內(nèi)的線段族方程為y/t-x/(1-t^2)^1/2=1，x>=0, y>=0, 1>t>0，其中t為時(shí)間參數(shù)。為方便起見我們將第一象限內(nèi)的線段族經(jīng)由x軸和y軸對(duì)稱反轉(zhuǎn)延拓為分段光滑閉曲線族F(x,y;t)=0，其中F(x,y;t)=-1+|y|/t-|x|/(1-t^2)^1/2，1>t>0。

又由視頻中的計(jì)算可知，視頻中分線段成比例k:=a/b的點(diǎn)的軌跡為橢圓y^2/k^2+x^2/(1-k)^2=1，由此得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)k的橢圓族E(x,y;k)=0，其中E(x,y;k)=-1+ y^2/k^2+x^2/(1-k)^2，1>k>0。

由曲線與曲面的微分幾何，上文中定義的參數(shù)族E(x,y;t)=0和F(x,y;t)=0共包絡(luò)線C：x^2/3+y^2/3=1，并且軌跡都鋪滿Jordan曲線C的內(nèi)部。閉曲線C稱作對(duì)稱星形線，C的內(nèi)部為平面上一個(gè)的中心對(duì)稱星形區(qū)域，由微積分得其面積為3π/8，周長(zhǎng)(即C的弧長(zhǎng))為6。

由于曲線C中心對(duì)稱，我們知道C不是任何橢圓的漸屈線。由星形線的特征性質(zhì)，我們知道C是其自身等比縮放1/2倍后所成的曲線的漸屈線。

由于方程x^2/3+y^2/3=1可化簡(jiǎn)為(-1+x^2+y^2)^3+27x^2y^2=0，我們知道C為含有4個(gè)奇點(diǎn)的六次平面實(shí)代數(shù)曲線，并且由ADE分類可知其所有奇點(diǎn)均為A_2型cusp（c.f.?四頂點(diǎn)定理）?？紤]代數(shù)曲線C在xy仿射平面上的坐標(biāo)函數(shù)x，在復(fù)化后函數(shù)x為C上的非平凡亞純映照，對(duì)x應(yīng)用分岐覆蓋的Riemman-Hurwictz公式，可以計(jì)算得C有虧格g=0，復(fù)化后有6個(gè)尖點(diǎn)和4個(gè)二重點(diǎn)，總計(jì)10個(gè)奇點(diǎn)，特別的，復(fù)解析化后所得的黎曼面雙有理等價(jià)于射影直線CP^1。