(ps:得知此結(jié)論的來源:BV1UA4y1f7TZ)

這個結(jié)論要證明是很容易的

記

則

∵

∴決定導(dǎo)數(shù)正負(fù)(即決定g(x)增減)的是

跟已知的式子相同，證畢

不過與證明結(jié)論相比，我更好奇結(jié)論的出處和來源，于是有了如下的“研究”。

已知

左邊有f'(x)，右邊有f(x)，考慮構(gòu)造出導(dǎo)數(shù)乘法法則的右邊形式

兩邊同乘一個待定的函數(shù)h(x)，且h(x)>0(為了不改變不等號方向)，得：

令

，則原式

∴函數(shù)遞增

下面解出待定函數(shù)h(x)即可

求解這個微分方程

即

分離變量得：

兩邊積分得：

(ps:不定常數(shù)算到左邊的積分項)

即

又∵h(yuǎn)(x)>0

∴

即需構(gòu)造的函數(shù)為

也同理，把不等號改成<即可

知道了這個公式以及來龍去脈，就可以輕松證明那些“抽象導(dǎo)數(shù)構(gòu)造表”中的所有構(gòu)造結(jié)論了，比如：

例(1):

構(gòu)造

(ps:至于處理不定常數(shù)，由于是一個正的系數(shù)，不影響p(x)單調(diào)性，所以取p(x)的一個原函數(shù)即可)

例(2):

兩邊同除x得，

(需要化成f'(x)+f(x)p(x)的形式)

構(gòu)造

但你會發(fā)現(xiàn)，上面這兩個例子都屬于比較簡單的了，或者說出題人已經(jīng)出膩了，這類題總會整出各種各樣的式子，下面加大些難度：

例(3):

參考上文的公式推導(dǎo)得：

(ps:實際操作中無需直接記憶這個公式，而是用上面推導(dǎo)過程中的構(gòu)造思路具體問題具體分析，換句話說就是用題干中具體數(shù)據(jù)進(jìn)行一遍上面的推導(dǎo))

因此我們把左邊化成f'(x)+f(x)p(x)的形式，再兩邊同乘即可

(x>0，可去絕對值)

兩邊同乘得：

即

則在(0,+∞)遞增

如果硬要整一個“構(gòu)造公式”，那就是：

若，

則遞增;

若，

則遞增.

但我們已經(jīng)掌握了核心科技(通法)，就大可不必記憶這些復(fù)雜的構(gòu)造公式了。

下面是實踐部分，我們拿非常有難度的一道題來應(yīng)用這一“核心科技”。

展開移項得：

x>1，則

兩邊同除得：

求解

裂項得：

x>1，去絕對值

構(gòu)造

其在(1,+∞)遞減

∴

代入已知條件得：

即g(x+3)>2

∵g(x)在(1,+∞)遞減,過點(diǎn)(5,2)

∴向左平移3個單位得：

g(x+3)在(-2,+∞)遞減,過點(diǎn)(2,2)

∴當(dāng)-2<x<2時，g(x+3)>2

故原不等式解集為(-2,2)，選D

又到了個人主題升華的片段了[doge]

此類“抽象導(dǎo)數(shù)不等式”的題型變化多端，生搬硬套已經(jīng)開始行不通了。出題人只會越來越“卷”，把題目整得愈加復(fù)雜。而對付此類題只有掌握了上述的“核心科技”，才能以不變應(yīng)萬變。

另外，個人認(rèn)為此類題型是為以后學(xué)習(xí)微分方程中的“湊積分因子”的方法做銜接做鋪墊的，因此適當(dāng)了解些課外知識拓寬下視野也不見得是什么壞事。

最后，我認(rèn)為此篇文章能給讀者們帶來領(lǐng)悟的是此公式的構(gòu)造過程，這是一個鍛煉思維，增強(qiáng)思考能力的一個絕佳的機(jī)會。有句話很佳，大概是這么說的：數(shù)學(xué)家們的使命就是從繁雜的事實中歸納出優(yōu)雅的共性。而這也是科學(xué)的魅力所在！

雖然我們都在走著先人開下的路，我們或許也無法做到像先人一樣開路。但我們?nèi)钥梢苑抡障热碎_路，比如：憑一己之力推出一個二級結(jié)論。只有勤加思考，懂得領(lǐng)悟，才是學(xué)習(xí)的真諦。