這篇文章介紹 Reed-Muller 碼的第四種構(gòu)造方法，通過(guò)多重線性多項(xiàng)式來(lái)計(jì)算輸出的比特（符號(hào)）。

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?Reed-Muller 碼是記為 R(r,m)，則這個(gè)方法為：

1. 先構(gòu)造一個(gè)生成多項(xiàng)式
2. 把多項(xiàng)式中的變量，代入所有的組合，得到的結(jié)果排成向量，就是輸出的結(jié)果。

下面我們?cè)敿?xì)來(lái)說(shuō)明一下：

R(r,m)在輸入的序列為 C 的情況下，對(duì)應(yīng)的生成多項(xiàng)式為：

其中 C 是一個(gè)長(zhǎng)度為 k? 的序列，即輸入序列的長(zhǎng)度，在前面文章中多次提到：

需要詳細(xì)解釋一下公式 (1) 中? 的含義：

s 是集合 的子集，且滿足 s 中含有的元素的數(shù)量不超過(guò) r.

例如 m=3，則 s 有如下情況：

把公式 (3)? 中的 7個(gè)集合，編個(gè)序號(hào)，從 0 開(kāi)始依次分配序號(hào)：0,1,2,3,4,5,6，則用這個(gè)序號(hào)的在序列 C 中找對(duì)應(yīng)的位，就是


下面我們用 R(2,4) 為例子進(jìn)行說(shuō)明公式 (1)，假如輸入的序列為? C=1? 1010? 010101? 總共 11 個(gè)比特。

則 s 有如下情況：

對(duì)公式 (4) 從上到下依次給連續(xù)的序號(hào)，從 0 開(kāi)始，則：

當(dāng)?? 時(shí)：


當(dāng)? ? 時(shí)：
當(dāng) ? 時(shí)：
當(dāng) 時(shí)：
當(dāng) ? 時(shí)：
當(dāng) 時(shí)：
當(dāng) ? 時(shí)：

當(dāng) ? 時(shí)：

當(dāng) ? 時(shí)：

當(dāng) ? 時(shí)：

當(dāng) 時(shí)：

把公式 (6) 到 (16)? 求和，就是公式 (1) 的結(jié)果：

把 C=1? 1010? 010101 代入 (17) 有：

然后把 取遍所有的值，通過(guò) (18) 計(jì)算出來(lái) 16? 個(gè)結(jié)果，就是編碼后的結(jié)果:

所以輸出的序列為? 1101? 1110? 0001? 0010.