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題目：

無(wú)根二叉樹(shù)的數(shù)目（Counting Unrooted Binary Trees）

?

Given: A positive integer n (n≤1000).

所給：一個(gè)不大于1000的整數(shù)n。

Return: The value of b(n) modulo 1,000,000.

需得：b(n)的值，對(duì)1,000,000取模。

?

測(cè)試數(shù)據(jù)

5

測(cè)試輸出

15

?

背景

? ? ? ? 在55 創(chuàng)建字符表中我們知道，從一棵樹(shù)上刪除一條邊，就會(huì)產(chǎn)生兩棵獨(dú)立的樹(shù)，每棵樹(shù)都是原始樹(shù)的子集，可以用S∣Sc表示這種樹(shù)的分裂。我們也可以用這種分裂集合來(lái)唯一的表示一棵無(wú)根二叉樹(shù)。

? ? ? ??在本題中，我們想要知道在有n個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的情況下，一共有多少課不同的無(wú)根二叉樹(shù)。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們首先要定義何為“相同”的無(wú)根二叉樹(shù)，具有相同分裂的兩棵樹(shù)即為“相同的無(wú)根二叉樹(shù)”，反之，如果兩棵樹(shù)的分裂是不同的，則被認(rèn)為是“不同的無(wú)根二叉樹(shù)”。

? ? ? ??在本題中，我們定義b(n)表示具有n個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的的不同無(wú)根二叉樹(shù)的總數(shù)。

?

思路

? ? ? ??對(duì)于生物專(zhuān)業(yè)的同學(xué)，本題題目可能相當(dāng)難懂。總結(jié)來(lái)說(shuō)，題目會(huì)給我們?nèi)~子結(jié)點(diǎn)的數(shù)量，我們來(lái)回答具有這些葉子的無(wú)根二叉樹(shù)一共有多少棵。接下來(lái)我們會(huì)將解題步驟分解，并繪圖來(lái)幫助理解。

（1）理解一棵有n個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的無(wú)根二叉樹(shù)肯定有2n-3條邊；

? ? ? ??由無(wú)根二叉樹(shù)的特點(diǎn)可知，一個(gè)結(jié)點(diǎn)要么度為3（內(nèi)結(jié)點(diǎn)），要么度為1（葉子節(jié)點(diǎn)）。

有3個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的樹(shù)：

? ? ? ??有4個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的樹(shù)，其中一種情況為：

? ? ? ??有5個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的樹(shù)，其中一種情況為：

? ? ? ??葉子結(jié)點(diǎn)更多的情況也可以以此類(lèi)推，邊滿足2n-3。

（2）?把一個(gè)新結(jié)點(diǎn)通過(guò)一條邊連在現(xiàn)有的邊上，我們就可以得到一棵新的無(wú)根二叉樹(shù)；除了這種辦法以外，沒(méi)有其他連接新結(jié)點(diǎn)的方法。

? ? ? ??舉個(gè)例子，我們向有3個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的那棵樹(shù)添加一個(gè)新結(jié)點(diǎn)，操作過(guò)程如下：

? ? ? ??畫(huà)圖可知，這是唯一的添加新結(jié)點(diǎn)方法，其他方法無(wú)法滿足無(wú)根二叉樹(shù)的定義。

（3）可能具有n片葉子的樹(shù)的數(shù)量是具有n-1片葉子的樹(shù)的數(shù)量的2(n-1)-3倍；

? ? ? ??在進(jìn)化樹(shù)中，每一片葉子結(jié)點(diǎn)都代表一個(gè)不同的種屬，因此在每個(gè)邊上添加新結(jié)點(diǎn)都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)不同的進(jìn)化樹(shù)。由于有n-1個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的樹(shù)有2(n-1)-3條邊，因此每棵樹(shù)添加一個(gè)結(jié)點(diǎn)都可以產(chǎn)生2(n-1)-3個(gè)新的樹(shù)，再乘上n-1個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的樹(shù)的數(shù)目，就得到了有n片葉子的樹(shù)的數(shù)量。

? ? ? ??經(jīng)過(guò)以上三步可以看到我們得到了一個(gè)遞歸，有n片葉子的樹(shù)的數(shù)量由有n-1個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的樹(shù)的數(shù)目決定，即b(n)=[2(n-1)-3]*b(n-1)。

? ? ? ??因?yàn)橹挥幸豢糜?片葉子的樹(shù)，所以最終的公式為T(mén)(n)=1?3?…(2n?5)=(2n?5)!!

? ? ? ??想明白這個(gè)過(guò)程，代碼就非常簡(jiǎn)單啦，甚至都不需要有注釋~

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代碼