今天來講書上的一個例子，用Bolzano-Weierstrass引理來證明柯西準則——

41Bolzano-Weierstrass引理

柯西準則（充要條件：條件結(jié)論反過來也成立）——

條件：對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N時，有|xn-xn'|<ε；

結(jié)論：數(shù)列{xn}有極限x，即對于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當(dāng)n>N'時，有|xn-x|<ε'。

今天我們來從“Bolzano-Weierstrass引理”推導(dǎo)“柯西準則”，其中必要性證明同Ep66，我們只證明充分性。

充要條件，必然證明分為必要性和充分性兩部分——

a.必要性：用數(shù)列極限的定義證明即可。

b.充分性——

已知：對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N時，有|xn-xn'|<ε；

求證：數(shù)列{xn}有極限x，即對于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當(dāng)n>N'時，有|xn-x|<ε'。

工具：布爾查諾-魏爾斯特拉斯引理（：有界數(shù)列必存在收斂子列）。

分析：證明柯西列為有界數(shù)列，證明其子列極限即為其極限即可。

證明——

step1：證明柯西列為有界數(shù)列——

1. 取定ε0>0，存在自然數(shù)N0，當(dāng)n>N0且n'>N0時，有|xn-xn'|<ε0；

2. 由1，取n'=N0+1>N0，則當(dāng)n>N0時，有xN0+1-ε0<xn<xN0+1+ε0；

3. 對于n<=N0，有min{x1，x2，……，xN0}<=xn<=max{x1，x2，……，xN0}；

4. 對于任意自然數(shù)n，有min{x1，x2，……，xN0，xN0+1-ε0}<=xn<=max{x1，x2，……，xN0，xN0+1-ε0}，即數(shù)列{xn}有界；

5. 由布爾查諾-魏爾斯特拉斯引理，數(shù)列{xn}有收斂子列{xnk}，即存在實數(shù)x，對任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)nk>N時，|xnk-x|<ε。

step2：證明x為數(shù)列{xn}的極限——

1. 由數(shù)列為柯西列，即對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N1，當(dāng)n>N1且n'>N1時，有|xn-xn'|<ε/2；

2. 又對任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N2，當(dāng)nk>N2時，|xnk-x|<ε/2；

3. 則對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N=max{N1，N2}，當(dāng)n>N且nk>N時，有|xn-x|=|xn-xnk+xnk-x|<=|xn-xnk|+|xnk-x|=ε，即x為{xn}極限，證畢。

就到這里！