數(shù)理方程來了||數(shù)理方法

//前面六章是復變函數(shù)與積分變換的主要內(nèi)容。
//現(xiàn)在開始下半篇數(shù)學物理方程了
//開學之后生產(chǎn)力急劇下降
//但是這個學期應該是能更完的

7.1 數(shù)學物理方程的導出
有許多物理模型,描述它們的方程具有類似的形式。以下將導出一些經(jīng)典物理模型中的微分方程,并將它們分為三大類:波動方程、輸運方程與穩(wěn)定場方程。
7.1.1 波動方程
波動方程廣泛出現(xiàn)在彈性力學、電磁學、力學等學科的相關模型中,它通常具有以下形式:
如果存在波源,則波動方程為:
其中,是拉普拉斯算符,根據(jù)模型的實際情況可能是1至3維。
為波速。一維波動方程通常寫為

其實上面這種寫法是數(shù)理方法書上的...我個人還是更習慣下面的寫法:
或者
這些也是大部分物理書籍、論文里波動方程的常見形式。波速為.

例如,在電磁學中,有電磁勢滿足的波動方程:
彈性力學中,固體中的 縱波與橫波都滿足波動方程,波速分別是
分別是材料的楊氏模量和切變模量。
再如張力為,線密度
的弦上,微小的橫振動也滿足波動方程,波速為
再如理想傳輸線(我們以此為例展示方程的推導過程):
設有平行導線,電阻和電磁波輻射忽略。二者之間單位長度的電容,單位長度電感為
.
僅考慮兩線上電荷線密度與電流
均等大反向的對稱情況,則根據(jù)電流連續(xù)性有
再由電容電感的定義,可得
由上兩式,得到
前式對微分,后式對
微分,得到
這是一維波動方程,波速為.
有趣的是,電容、電感這樣的參數(shù)應當是完全由傳輸線的形狀與空間相對位置決定的,并且根據(jù)各自的定義有各自不同的求法,但我們在這里可以斷言它們的關系一定是
其中是光速。這是因為,電線的傳輸速度當然應該是光速。
7.1.2 輸運方程
輸運方程的形式通常是
它出現(xiàn)在熱傳導與擴散的模型中,在兩種模型中分別是溫度、擴散物濃度。這里只簡單解釋各項的含義:對時間一階微分項代表這一點強度隨時間的變化速率;
一項描述這一點受到周圍的影響;右邊則是這一點的源強度。
7.1.3 穩(wěn)定場方程
靜電場、靜磁場都滿足穩(wěn)定場方程。經(jīng)典的泊松方程就屬于穩(wěn)定場方程,形如
可以描述靜電場電勢、穩(wěn)定溫度場、穩(wěn)定濃度場、穩(wěn)恒電流場等模型。
如靜電場的泊松方程:
穩(wěn)恒電流場中也有類似的方程:
對于存在熱源的穩(wěn)定溫度場,也有
許多模型都有相近的數(shù)學結(jié)構。
7.2 定解條件
除了決定系統(tǒng)的微分方程,我們還需要定解條件來確定系統(tǒng)物理參量與時間、空間的函數(shù)關系。定解條件分為三種:初值條件、邊界條件、銜接條件。
以下將以實例說明幾種定解條件:
場景1:弦張力,線密度
,一端固定于
,在
處固定了質(zhì)量為
的質(zhì)點。令
表示橫向位移,
處是自由端,輸入入射波
.
這個場景中出現(xiàn)了以下的定解條件:
①?處被固定,所以恒有
;
處有入射波,所以
.
這被稱為第一類邊界條件:直接規(guī)定所研究物理量在邊界上的值。
② 初始時刻,弦的各點位置被稱為初值條件:規(guī)定
時整個系統(tǒng)的狀態(tài)。
③ 在質(zhì)點所在的位置,由于質(zhì)需受力產(chǎn)生加速度,在這一點出現(xiàn)了的偏導不連續(xù)的情況。在該模型中質(zhì)點的運動方程可以寫為:
這被稱為銜接條件,聯(lián)系了不連續(xù)的質(zhì)點兩側(cè)。
場景2:質(zhì)量不可忽略,長度,勁度系數(shù)
線密度為
的彈簧,右端有質(zhì)點
,左端是自由端。令
表示彈簧上某質(zhì)點相對初始位置的偏移。同時質(zhì)點處于力場
中。
我們可以證明彈簧上某點的張力可以寫為.?
?① 由于自由端不受外力,有
這被稱為第二類邊界條件,給出所研究物理量在邊界法線方向上的導數(shù)。
?② 質(zhì)點受力,可列出運動方程:
這被稱為第三類邊界條件,給出所研究物理量及其在邊界法線方向?qū)?shù)的關系。
7.3 數(shù)理方程分類
首先,形如
被稱為線性二階偏微分方程。這是本課程重點研究的對象。
我們考慮兩個自變量的情況,分類并化為標準形式。
這是此類方程的一般形式。作自變量代換:
(代換的雅可比行列式.)
我們可以證明,變量代換后微分方程將化為新變量的二階線性偏微分方程
變換前后方程各項系數(shù)滿足關系:
(書上這一段的完整推導過程看起來真的非??植溃俏覀冎灰榔渲凶兞看鷵Q的原理就行了,剩下都是體力活)
我們只要合理地選取就可以簡化變換后的方程。例如,我們注意到,如果令方程
的特解為,就可以使
,從而完成簡化。
而上面這個方程可以化為常微方程。設有曲線族,則有
再根據(jù)前面方程化為
所以曲線族滿足
所以方程給出2個曲線族,分別對應.
再根據(jù)上式根號內(nèi)對偏微分方程分類:
以上幾類方程經(jīng)過的變量代換之后,均可以化為標準形式。
雙曲型的標準形式:
而如果再令?則可以得到另一標準形式:
例如,波動方程就屬于雙曲型方程。根據(jù)前面理論,如果令
,則方程就可以化為:
其通解是,
為任意函數(shù)。從這個解就很容易看出
作為“波速”的實際意義。
拋物型的標準形式:
取滿足
,而
不滿足上式,可以證明拋物型的標準形式是
橢圓型的標準形式:
除去一個負號外,橢圓型和雙曲型應當是一樣的:
但是這一次變?yōu)閺凸曹椀摹楹喕?,?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cxi%20%3D%20%5Calpha%2B%5Cmathrm%20i%20%5Cbeta%2C%20%5Ceta%20%3D%20%5Calpha-%5Cmathrm%20i%20%5Cbeta%5C%3B(%5Calpha%2C%5Cbeta%5Cin%5Cmathbb%20R)" alt="%5Cxi%20%3D%20%5Calpha%2B%5Cmathrm%20i%20%5Cbeta%2C%20%5Ceta%20%3D%20%5Calpha-%5Cmathrm%20i%20%5Cbeta%5C%3B(%5Calpha%2C%5Cbeta%5Cin%5Cmathbb%20R)">,得到

(先寫這么多吧,這一章開始越來越麻煩了...以后不一定一篇筆記對應書上一章了)
參考文獻
[1] 梁昆淼. 數(shù)學物理方法(第四版)[M]. 北京:高等教育出版社,2009.8,107~134.