數(shù)理方程來了||數(shù)理方法

2021-03-22 17:08 作者:湮滅的末影狐 0人讀過 | 我要投稿

//前面六章是復(fù)變函數(shù)與積分變換的主要內(nèi)容。

//現(xiàn)在開始下半篇數(shù)學(xué)物理方程了

//開學(xué)之后生產(chǎn)力急劇下降

//但是這個(gè)學(xué)期應(yīng)該是能更完的

7.1 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出

有許多物理模型，描述它們的方程具有類似的形式。以下將導(dǎo)出一些經(jīng)典物理模型中的微分方程，并將它們分為三大類：波動(dòng)方程、輸運(yùn)方程與穩(wěn)定場(chǎng)方程。

7.1.1 波動(dòng)方程

波動(dòng)方程廣泛出現(xiàn)在彈性力學(xué)、電磁學(xué)、力學(xué)等學(xué)科的相關(guān)模型中，它通常具有以下形式：

$u_%7Btt%7D-a%5E2%5CDelta%20u%3D0$

如果存在波源，則波動(dòng)方程為：

$u_%7Btt%7D-a%5E2%5CDelta%20u%3Df(%5Cvec%7Br%7D%2Ct)$

其中， $%5CDelta$ 是拉普拉斯算符，根據(jù)模型的實(shí)際情況可能是1至3維。 $a$ 為波速。一維波動(dòng)方程通常寫為

$u_%7Btt%7D-a%5E2%20u_%7Bxx%7D%3Df(x%2Ct)$

其實(shí)上面這種寫法是數(shù)理方法書上的...我個(gè)人還是更習(xí)慣下面的寫法：

$%5Cnabla%5E2%20%5Cpsi%20-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%3Df(%5Cvec%7Br%7D%2Ct)$

或者

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%3Df(x%2Ct)$

這些也是大部分物理書籍、論文里波動(dòng)方程的常見形式。波速為 $c$ .

例如，在電磁學(xué)中，有電磁勢(shì)滿足的波動(dòng)方程：

$%5Cnabla%5E2%20%5Cvec%7BA%7D%20-%20%5Cfrac1%7Bc%5E2%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20%5Cvec%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%3D-%5Cmu_0%20%5Cvec%7Bj%7D$

$%5Cnabla%5E2%20%5Cphi%20%20-%20%5Cfrac1%7Bc%5E2%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20%5Cphi%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_0%7D$

彈性力學(xué)中，固體中的縱波與橫波都滿足波動(dòng)方程，波速分別是

$c_1%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%20Y%5Crho%7D%2C%5C%2Cc_2%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%20G%5Crho%7D$

$Y%2CG$ 分別是材料的楊氏模量和切變模量。

再如張力為 $T$ ，線密度 $%5Clambda$ 的弦上，微小的橫振動(dòng)也滿足波動(dòng)方程，波速為 $%5Csqrt%7BT%2F%5Clambda%7D$

再如理想傳輸線(我們以此為例展示方程的推導(dǎo)過程)：

設(shè)有平行導(dǎo)線，電阻和電磁波輻射忽略。二者之間單位長(zhǎng)度的電容 $C$ ，單位長(zhǎng)度電感為 $L$ .

僅考慮兩線上電荷線密度 $%5Clambda$ 與電流 $I$ 均等大反向的對(duì)稱情況，則根據(jù)電流連續(xù)性有

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20I%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Clambda%20%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20$

再由電容電感的定義，可得

$%5Clambda%3DC%5Cphi$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cphi%20%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%20-L%5Cfrac%7B%5Cpartial%20I%7D%7B%5Cpartial%20t%7D$

由上兩式，得到

$%5Cleft%20%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%20I%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Clambda%20%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Clambda%20%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%20-LC%5Cfrac%7B%5Cpartial%20I%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

前式對(duì) $x%0A$ 微分，后式對(duì) $t$ 微分，得到

$%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20I%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%20-LC%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20I%20%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%0A%3D0$

這是一維波動(dòng)方程，波速為 $1%2F%5Csqrt%7BLC%7D$ .

有趣的是，電容、電感這樣的參數(shù)應(yīng)當(dāng)是完全由傳輸線的形狀與空間相對(duì)位置決定的，并且根據(jù)各自的定義有各自不同的求法，但我們?cè)谶@里可以斷言它們的關(guān)系一定是

$1%2F%5Csqrt%7BLC%7D%3D1%2F%5Csqrt%7B%5Cmu_0%5Cepsilon_0%7D%3Dc$

其中 $c$ 是光速。這是因?yàn)?，電線的傳輸速度當(dāng)然應(yīng)該是光速。

7.1.2 輸運(yùn)方程

輸運(yùn)方程的形式通常是

$u_t%20-%20a%5E2%20%5CDelta%20u%3Df(%5Cvec%7Br%7D%2Ct%20)$

它出現(xiàn)在熱傳導(dǎo)與擴(kuò)散的模型中， $u$ 在兩種模型中分別是溫度、擴(kuò)散物濃度。這里只簡(jiǎn)單解釋各項(xiàng)的含義：對(duì)時(shí)間一階微分項(xiàng)代表這一點(diǎn)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化速率； $%5CDelta%20u$ 一項(xiàng)描述這一點(diǎn)受到周圍的影響；右邊則是這一點(diǎn)的源強(qiáng)度。

7.1.3 穩(wěn)定場(chǎng)方程

靜電場(chǎng)、靜磁場(chǎng)都滿足穩(wěn)定場(chǎng)方程。經(jīng)典的泊松方程就屬于穩(wěn)定場(chǎng)方程，形如

$%5Cnabla%5E2%5Cpsi%20%3D%20f(%5Cvec%20r)$

可以描述靜電場(chǎng)電勢(shì)、穩(wěn)定溫度場(chǎng)、穩(wěn)定濃度場(chǎng)、穩(wěn)恒電流場(chǎng)等模型。

如靜電場(chǎng)的泊松方程：

$%5Cnabla%20%5E2%20%5Cphi%20%20%3D%20-%5Crho%20%2F%5Cepsilon%20_0$

穩(wěn)恒電流場(chǎng)中也有類似的方程：

$%5Cnabla%20%5E2%20%5Cvec%20A%20%3D%20-%5Cmu_0%20%5Cvec%20j$

對(duì)于存在熱源的穩(wěn)定溫度場(chǎng)，也有

$%5Cnabla%5E2%20T%20%3D%20f(%5Cvec%20r)$

許多模型都有相近的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

7.2 定解條件

除了決定系統(tǒng)的微分方程，我們還需要定解條件來確定系統(tǒng)物理參量與時(shí)間、空間的函數(shù)關(guān)系。定解條件分為三種：初值條件、邊界條件、銜接條件。

以下將以實(shí)例說明幾種定解條件：

場(chǎng)景1：弦張力 $T$ ，線密度 $%5Clambda%20$ ，一端固定于 $x%3D0$ ，在 $x%3Da$ 處固定了質(zhì)量為 $m$ 的質(zhì)點(diǎn)。令 $%5Cpsi$ 表示橫向位移， $x%3Dl$ 處是自由端，輸入入射波 $%5Cpsi(t)%3DA%5Ccos%5Comega%20t$ .

這個(gè)場(chǎng)景中出現(xiàn)了以下的定解條件：

①? $x%3D0$ 處被固定，所以恒有 $%5Cpsi(0%2Ct)%3D0$ ； $x%3Dl$ 處有入射波，所以 $%5Cpsi(l%2Ct)%20%3D%20A%5Ccos%20%5Comega%20t$ .

這被稱為第一類邊界條件：直接規(guī)定所研究物理量在邊界上的值。

② 初始時(shí)刻，弦的各點(diǎn)位置 $%5Cpsi(x%2C0)%3Df(x)$ 被稱為初值條件：規(guī)定 $t%3D0$ 時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)。

③ 在質(zhì)點(diǎn)所在的位置，由于質(zhì)需受力產(chǎn)生加速度，在這一點(diǎn)出現(xiàn)了 $%5Cpsi(x%2Ct)$ 的偏導(dǎo)不連續(xù)的情況。在該模型中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以寫為：

$%5Clim%20_%7Bx%20%5Crightarrow%20a%5E%2B%7D%20%20T%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20-%0A%5Clim%20_%7Bx%20%5Crightarrow%20a%5E-%7D%20%20T%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D%20m%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%20%7C_%7Bx%3Da%7D$

這被稱為銜接條件，聯(lián)系了不連續(xù)的質(zhì)點(diǎn)兩側(cè)。

場(chǎng)景2：質(zhì)量不可忽略，長(zhǎng)度 $l$ ，勁度系數(shù) $k$ 線密度為 $%5Clambda$ 的彈簧，右端有質(zhì)點(diǎn) $m$ ，左端是自由端。令 $%5Cpsi$ 表示彈簧上某質(zhì)點(diǎn)相對(duì)初始位置的偏移。同時(shí)質(zhì)點(diǎn)處于力場(chǎng) $F(%5Cpsi)%3D-k%5Cpsi$ 中。

我們可以證明彈簧上某點(diǎn)的張力可以寫為 $F%20%3D%20-kl%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%7D$ .?

?① 由于自由端不受外力，有 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%7C_%7Bx%3D0%7D%3D0$

這被稱為第二類邊界條件，給出所研究物理量在邊界法線方向上的導(dǎo)數(shù)。

?② 質(zhì)點(diǎn)受力，可列出運(yùn)動(dòng)方程： $-kl%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%7C_%7Bx%3Dl%7D-k%5Cpsi(l%2Ct)%3D%20m%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%20%7C_%7Bx%3Dl%7D$

這被稱為第三類邊界條件，給出所研究物理量及其在邊界法線方向?qū)?shù)的關(guān)系。

7.3 數(shù)理方程分類

首先，形如

$%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20a_%7Bi%20j%7D%20u_%7Bx_%7Bi%7D%20x_%7Bj%7D%7D%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20b_%7Bi%7D%20u_%7Bx_%7Bi%7D%7D%2Bc%20u%2Bf%3D0$

被稱為線性二階偏微分方程。這是本課程重點(diǎn)研究的對(duì)象。

我們考慮兩個(gè)自變量 $x%2Cy$ 的情況，分類并化為標(biāo)準(zhǔn)形式。

$a_%7B11%7D%20u_%7Bx%20x%7D%2B2%20a_%7B12%7D%20u_%7Bx%20y%7D%2Ba_%7B22%7D%20u_%7By%20y%7D%2Bb_%7B1%7D%20u_%7Bx%7D%2Bb_%7B2%7D%20u_%7By%7D%2Bc%20u%2Bf%3D0$

這是此類方程的一般形式。作自變量代換：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5Cxi%3D%5Cxi(x%2C%20y)%20%5C%5C%0A%5Ceta%3D%5Ceta(x%2C%20y)%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

（代換的雅可比行列式 $%5Cfrac%7B%5Cpartial(%5Cxi%2C%20%5Ceta)%7D%7B%5Cpartial(x%2C%20y)%7D%20%5Cneq%200$ .）

我們可以證明，變量代換后微分方程將化為新變量的二階線性偏微分方程

$A_%7B11%7D%20u_%7B%5Cxi%20%5Cxi%7D%2B2%20A_%7B12%7D%20u_%7B%5Cxi%20%5Ceta%7D%2BA_%7B22%7D%20u_%7B%5Ceta%20%5Ceta%7D%2BB_%7B1%7D%20u_%7B%5Cxi%7D%2BB_%7B2%7D%20u_%7B%5Ceta%7D%2BC%20u%2BF%3D0$

變換前后方程各項(xiàng)系數(shù)滿足關(guān)系：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0AA_%7B11%7D%3Da_%7B11%7D%20%5Cxi_%7Bx%7D%5E%7B2%7D%2B2%20a_%7B12%7D%20%5Cxi_%7Bx%7D%20%5Cxi_%7By%7D%2Ba_%7B22%7D%20%5Cxi_%7By%7D%5E%7B2%7D%20%5C%5C%0AA_%7B12%7D%3Da_%7B11%7D%20%5Cxi_%7Bx%7D%20%5Ceta_%7Bx%7D%2Ba_%7B12%7D%5Cleft(%5Cxi_%7Bx%7D%20%5Ceta_%7By%7D%2B%5Cxi_%7By%7D%20%5Ceta_%7Bx%7D%5Cright)%2Ba_%7B22%7D%20%5Cxi_%7By%7D%20%5Ceta_%7By%7D%20%5C%5C%0AA_%7B22%7D%3Da_%7B11%7D%20%5Ceta_%7Bx%7D%5E%7B2%7D%2B2%20a_%7B12%7D%20%5Ceta_%7Bx%7D%20%5Ceta_%7By%7D%2Ba_%7B22%7D%20%5Ceta_%7By%7D%5E%7B2%7D%20%5C%5C%0AB_%7B1%7D%3Da_%7B11%7D%20%5Cxi_%7Bx%20x%7D%2B2%20a_%7B12%7D%20%5Cxi_%7Bx%20y%7D%2Ba_%7B22%7D%20%5Cxi_%7By%20y%7D%2Bb_%7B1%7D%20%5Cxi_%7Bx%7D%2Bb_%7B2%7D%20%5Cxi_%7By%7D%20%5C%5C%0AB_%7B2%7D%3Da_%7B11%7D%20%5Ceta_%7Bx%20x%7D%2B2%20a_%7B12%7D%20%5Ceta_%7Bx%20y%7D%2Ba_%7B22%7D%20%5Ceta_%7Br%20y%7D%2Bb_%7B1%7D%20%5Ceta_%7Bx%7D%2Bb_%7B2%7D%20%5Ceta_%7By%7D%20%5C%5C%0AC%3Dc%20%5C%5C%0AF%3Df%20%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

（書上這一段的完整推導(dǎo)過程看起來真的非?？植溃俏覀冎灰榔渲凶兞看鷵Q的原理就行了，剩下都是體力活）

我們只要合理地選取 $%5Cxi%2C%20%5Ceta$ 就可以簡(jiǎn)化變換后的方程。例如，我們注意到，如果令方程

$a_%7B11%7D%20z_%7Bx%7D%5E%7B2%7D%2B2%20a_%7B12%7D%20z_%7Bx%7D%20z_%7By%7D%2Ba_%7B22%7D%20z_%7By%7D%5E%7B2%7D%3D0$

的特解為 $%5Cxi(x%2Cy)%2C%5Ceta(x%2Cy)$ ，就可以使 $A_%7B11%7D%3DA_%7B22%7D%3D0$ ，從而完成簡(jiǎn)化。

而上面這個(gè)方程可以化為常微方程。設(shè)有曲線族 $z(x%2Cy)%3DC$ ，則有

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20y%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20x%7D%20%3D-%5Cfrac%7Bz_x%7D%7Bz_y%7D%20$

再根據(jù)前面方程化為

$a_%7B11%7D%5Cleft(-%5Cfrac%7Bz_%7Bx%7D%7D%7Bz_%7By%7D%7D%5Cright)%5E%7B2%7D-2%20a_%7B12%7D%5Cleft(-%5Cfrac%7Bz_%7Bx%7D%7D%7Bz_%7By%7D%7D%5Cright)%2Ba_%7B22%7D%3D0$

所以曲線族滿足

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20y%7D%7B%5Cmathrm%7B~d%7D%20x%7D%3D%5Cfrac%7Ba_%7B12%7D%5Cpm%5Csqrt%7Ba_%7B12%7D%5E%7B2%7D-a_%7B11%7D%20a_%7B22%7D%7D%7D%7Ba_%7B11%7D%7D$

所以方程給出2個(gè)曲線族，分別對(duì)應(yīng) $%5Cxi(x%2Cy)%3DC$ .

再根據(jù)上式根號(hào)內(nèi)對(duì)偏微分方程分類： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0Aa_%7B12%7D%5E%7B2%7D-a_%7B11%7D%20a_%7B22%7D%3E0%EF%BC%8C%20%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%9E%8B%20%5C%5C%0Aa_%7B12%7D%5E%7B2%7D-a_%7B11%7D%20a_%7B22%7D%3D0%EF%BC%8C%20%E6%8A%9B%E7%89%A9%E5%9E%8B%5C%5C%0Aa_%7B12%7D%5E%7B2%7D-a_%7B11%7D%20a_%7B22%7D%3C0%EF%BC%8C%20%E6%A4%AD%E5%9C%86%E5%9E%8B%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

以上幾類方程經(jīng)過 $(x%2Cy)%5Crightarrow(%5Cxi%2C%5Ceta)$ 的變量代換之后，均可以化為標(biāo)準(zhǔn)形式。

雙曲型的標(biāo)準(zhǔn)形式：

$u_%7B%5Cxi%20%5Ceta%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20A_%7B12%7D%7D%5Cleft%5BB_%7B1%7D%20u_%7B%5Cxi%7D%2BB_%7B2%7D%20u_%7B%5Ceta%7D%2BC%20u%2BF%5Cright%5D$

而如果再令 $%5Cxi%20%3D%20%5Calpha%2B%5Cbeta%2C%5C%3B%5Ceta%20%3D%20%5Calpha-%5Cbeta$ ?則可以得到另一標(biāo)準(zhǔn)形式：

$u_%7B%5Calpha%20%5Calpha%7D-u_%7B%5Cbeta%20%5Cbeta%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7BA_%7B12%7D%7D%5Cleft%5B%5Cleft(B_%7B1%7D%2BB_%7B2%7D%5Cright)%20u_%7B%5Calpha%7D%2B%5Cleft(B_%7B1%7D-B_%7B2%7D%5Cright)%20u_%7B%5Cbeta%7D%2B2%20C%20u%2B2%20F%5Cright%5D$

例如，波動(dòng)方程 $u_%7Btt%7D-c%5E2u_%7Bxx%7D%3D0$ 就屬于雙曲型方程。根據(jù)前面理論，如果令 $%5Cxi%3Dx%2Bct%2C%5C%3B%5Ceta%3Dx-ct$ ，則方程就可以化為:

$u_%7B%5Cxi%5Ceta%7D%3D0$

其通解是 $u%3Df(x%2Bct)%2Bg(x-ct)$ ， $f%2Cg$ 為任意函數(shù)。從這個(gè)解就很容易看出 $c$ 作為“波速”的實(shí)際意義。

拋物型的標(biāo)準(zhǔn)形式：

取 $%5Cxi%0A$ 滿足 $a_%7B11%7D%20z_%7Bx%7D%5E%7B2%7D%2B2%20a_%7B12%7D%20z_%7Bx%7D%20z_%7By%7D%2Ba_%7B22%7D%20z_%7By%7D%5E%7B2%7D%3D0$ ，而 $%5Ceta$ 不滿足上式，可以證明拋物型的標(biāo)準(zhǔn)形式是

$u_%7B%5Ceta%20%5Ceta%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7BA_%7B22%7D%7D%5Cleft%5BB_%7B1%7D%20u_%7B%5Cxi%7D%2BB_%7B2%7D%20u_%7B%5Ceta%7D%2BC%20u%2BF%5Cright%5D$

橢圓型的標(biāo)準(zhǔn)形式：

除去一個(gè)負(fù)號(hào)外，橢圓型和雙曲型應(yīng)當(dāng)是一樣的：

$u_%7B%5Cxi%20%5Ceta%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20A_%7B12%7D%7D%5Cleft%5BB_%7B1%7D%20u_%7B%5Cxi%7D%2BB_%7B2%7D%20u_%7B%5Ceta%7D%2BC%20u%2BF%5Cright%5D$

但是這一次 $%5Cxi%2C%5Ceta$ 變?yōu)閺?fù)共軛的。為簡(jiǎn)化，取 $%5Cxi%20%3D%20%5Calpha%2B%5Cmathrm%20i%20%5Cbeta%2C%20%5Ceta%20%3D%20%5Calpha-%5Cmathrm%20i%20%5Cbeta%5C%3B(%5Calpha%2C%5Cbeta%5Cin%5Cmathbb%20R)$ ，得到

$u_%7B%5Calpha%20%5Calpha%7D%2Bu_%7B%5Cbeta%20%5Cbeta%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7BA_%7B12%7D%7D%5Cleft%5B%5Cleft(B_%7B1%7D%2BB_%7B2%7D%5Cright)%20u_%7B%5Calpha%7D%2B%5Cleft(B_%7B2%7D-B_%7B1%7D%5Cright)%20u_%7B%5Cbeta%7D%2B2%20C%20u%2B2%20F%5Cright%5D$