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數(shù)理方程來了||數(shù)理方法

2021-03-22 17:08 作者:湮滅的末影狐  | 我要投稿

//前面六章是復變函數(shù)與積分變換的主要內(nèi)容。

//現(xiàn)在開始下半篇數(shù)學物理方程了

//開學之后生產(chǎn)力急劇下降

//但是這個學期應該是能更完的

7.1 數(shù)學物理方程的導出

有許多物理模型,描述它們的方程具有類似的形式。以下將導出一些經(jīng)典物理模型中的微分方程,并將它們分為三大類:波動方程、輸運方程與穩(wěn)定場方程。

7.1.1 波動方程

波動方程廣泛出現(xiàn)在彈性力學、電磁學、力學等學科的相關模型中,它通常具有以下形式:

u_%7Btt%7D-a%5E2%5CDelta%20u%3D0

如果存在波源,則波動方程為:

u_%7Btt%7D-a%5E2%5CDelta%20u%3Df(%5Cvec%7Br%7D%2Ct)

其中,%5CDelta是拉普拉斯算符,根據(jù)模型的實際情況可能是1至3維。a為波速。一維波動方程通常寫為

u_%7Btt%7D-a%5E2%20u_%7Bxx%7D%3Df(x%2Ct)

其實上面這種寫法是數(shù)理方法書上的...我個人還是更習慣下面的寫法:

%5Cnabla%5E2%20%5Cpsi%20-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%3Df(%5Cvec%7Br%7D%2Ct)

或者

%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%3Df(x%2Ct)

這些也是大部分物理書籍、論文里波動方程的常見形式。波速為c.

例如,在電磁學中,有電磁勢滿足的波動方程:

%5Cnabla%5E2%20%5Cvec%7BA%7D%20-%20%5Cfrac1%7Bc%5E2%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20%5Cvec%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%3D-%5Cmu_0%20%5Cvec%7Bj%7D

%5Cnabla%5E2%20%5Cphi%20%20-%20%5Cfrac1%7Bc%5E2%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20%5Cphi%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_0%7D

彈性力學中,固體中的 縱波與橫波都滿足波動方程,波速分別是

c_1%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%20Y%5Crho%7D%2C%5C%2Cc_2%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%20G%5Crho%7D

Y%2CG分別是材料的楊氏模量和切變模量。

再如張力為T,線密度%5Clambda的弦上,微小的橫振動也滿足波動方程,波速為%5Csqrt%7BT%2F%5Clambda%7D

再如理想傳輸線(我們以此為例展示方程的推導過程):

設有平行導線,電阻和電磁波輻射忽略。二者之間單位長度的電容C,單位長度電感為L.

僅考慮兩線上電荷線密度%5Clambda與電流I均等大反向的對稱情況,則根據(jù)電流連續(xù)性有

%5Cfrac%7B%5Cpartial%20I%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Clambda%20%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20

再由電容電感的定義,可得

%5Clambda%3DC%5Cphi

%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cphi%20%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%20-L%5Cfrac%7B%5Cpartial%20I%7D%7B%5Cpartial%20t%7D

由上兩式,得到

%5Cleft%20%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%20I%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Clambda%20%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Clambda%20%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%20-LC%5Cfrac%7B%5Cpartial%20I%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.

前式對x%0A微分,后式對t微分,得到

%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20I%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%20-LC%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20I%20%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%0A%3D0

這是一維波動方程,波速為1%2F%5Csqrt%7BLC%7D.

有趣的是,電容、電感這樣的參數(shù)應當是完全由傳輸線的形狀與空間相對位置決定的,并且根據(jù)各自的定義有各自不同的求法,但我們在這里可以斷言它們的關系一定是

1%2F%5Csqrt%7BLC%7D%3D1%2F%5Csqrt%7B%5Cmu_0%5Cepsilon_0%7D%3Dc

其中c是光速。這是因為,電線的傳輸速度當然應該是光速。

7.1.2 輸運方程

輸運方程的形式通常是

u_t%20-%20a%5E2%20%5CDelta%20u%3Df(%5Cvec%7Br%7D%2Ct%20)

它出現(xiàn)在熱傳導與擴散的模型中,u在兩種模型中分別是溫度、擴散物濃度。這里只簡單解釋各項的含義:對時間一階微分項代表這一點強度隨時間的變化速率;%5CDelta%20u一項描述這一點受到周圍的影響;右邊則是這一點的源強度。

7.1.3 穩(wěn)定場方程

靜電場、靜磁場都滿足穩(wěn)定場方程。經(jīng)典的泊松方程就屬于穩(wěn)定場方程,形如

%5Cnabla%5E2%5Cpsi%20%3D%20f(%5Cvec%20r)

可以描述靜電場電勢、穩(wěn)定溫度場、穩(wěn)定濃度場、穩(wěn)恒電流場等模型。

如靜電場的泊松方程:

%5Cnabla%20%5E2%20%5Cphi%20%20%3D%20-%5Crho%20%2F%5Cepsilon%20_0

穩(wěn)恒電流場中也有類似的方程:

%5Cnabla%20%5E2%20%5Cvec%20A%20%3D%20-%5Cmu_0%20%5Cvec%20j

對于存在熱源的穩(wěn)定溫度場,也有

%5Cnabla%5E2%20T%20%3D%20f(%5Cvec%20r)

許多模型都有相近的數(shù)學結(jié)構。

7.2 定解條件

除了決定系統(tǒng)的微分方程,我們還需要定解條件來確定系統(tǒng)物理參量與時間、空間的函數(shù)關系。定解條件分為三種:初值條件、邊界條件、銜接條件。

以下將以實例說明幾種定解條件:

場景1:弦張力T,線密度%5Clambda%20,一端固定于x%3D0,在x%3Da處固定了質(zhì)量為m的質(zhì)點。令%5Cpsi表示橫向位移,x%3Dl處是自由端,輸入入射波%5Cpsi(t)%3DA%5Ccos%5Comega%20t.

這個場景中出現(xiàn)了以下的定解條件:

①?x%3D0處被固定,所以恒有%5Cpsi(0%2Ct)%3D0;x%3Dl處有入射波,所以%5Cpsi(l%2Ct)%20%3D%20A%5Ccos%20%5Comega%20t.

這被稱為第一類邊界條件:直接規(guī)定所研究物理量在邊界上的值。

② 初始時刻,弦的各點位置%5Cpsi(x%2C0)%3Df(x)被稱為初值條件:規(guī)定t%3D0時整個系統(tǒng)的狀態(tài)。

③ 在質(zhì)點所在的位置,由于質(zhì)需受力產(chǎn)生加速度,在這一點出現(xiàn)了%5Cpsi(x%2Ct)的偏導不連續(xù)的情況。在該模型中質(zhì)點的運動方程可以寫為:

%5Clim%20_%7Bx%20%5Crightarrow%20a%5E%2B%7D%20%20T%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20-%0A%5Clim%20_%7Bx%20%5Crightarrow%20a%5E-%7D%20%20T%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D%20m%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%20%7C_%7Bx%3Da%7D

這被稱為銜接條件,聯(lián)系了不連續(xù)的質(zhì)點兩側(cè)。

場景2:質(zhì)量不可忽略,長度l,勁度系數(shù)k線密度為%5Clambda的彈簧,右端有質(zhì)點m,左端是自由端。令%5Cpsi表示彈簧上某質(zhì)點相對初始位置的偏移。同時質(zhì)點處于力場F(%5Cpsi)%3D-k%5Cpsi中。

我們可以證明彈簧上某點的張力可以寫為F%20%3D%20-kl%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%7D.?

?① 由于自由端不受外力,有%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%7C_%7Bx%3D0%7D%3D0

這被稱為第二類邊界條件,給出所研究物理量在邊界法線方向上的導數(shù)。

?② 質(zhì)點受力,可列出運動方程:-kl%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%7C_%7Bx%3Dl%7D-k%5Cpsi(l%2Ct)%3D%20m%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%20%7C_%7Bx%3Dl%7D

這被稱為第三類邊界條件,給出所研究物理量及其在邊界法線方向?qū)?shù)的關系。

7.3 數(shù)理方程分類

首先,形如

%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20a_%7Bi%20j%7D%20u_%7Bx_%7Bi%7D%20x_%7Bj%7D%7D%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20b_%7Bi%7D%20u_%7Bx_%7Bi%7D%7D%2Bc%20u%2Bf%3D0

被稱為線性二階偏微分方程。這是本課程重點研究的對象。

我們考慮兩個自變量x%2Cy的情況,分類并化為標準形式。

a_%7B11%7D%20u_%7Bx%20x%7D%2B2%20a_%7B12%7D%20u_%7Bx%20y%7D%2Ba_%7B22%7D%20u_%7By%20y%7D%2Bb_%7B1%7D%20u_%7Bx%7D%2Bb_%7B2%7D%20u_%7By%7D%2Bc%20u%2Bf%3D0

這是此類方程的一般形式。作自變量代換:

%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5Cxi%3D%5Cxi(x%2C%20y)%20%5C%5C%0A%5Ceta%3D%5Ceta(x%2C%20y)%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.

(代換的雅可比行列式%5Cfrac%7B%5Cpartial(%5Cxi%2C%20%5Ceta)%7D%7B%5Cpartial(x%2C%20y)%7D%20%5Cneq%200.)

我們可以證明,變量代換后微分方程將化為新變量的二階線性偏微分方程

A_%7B11%7D%20u_%7B%5Cxi%20%5Cxi%7D%2B2%20A_%7B12%7D%20u_%7B%5Cxi%20%5Ceta%7D%2BA_%7B22%7D%20u_%7B%5Ceta%20%5Ceta%7D%2BB_%7B1%7D%20u_%7B%5Cxi%7D%2BB_%7B2%7D%20u_%7B%5Ceta%7D%2BC%20u%2BF%3D0

變換前后方程各項系數(shù)滿足關系:

%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0AA_%7B11%7D%3Da_%7B11%7D%20%5Cxi_%7Bx%7D%5E%7B2%7D%2B2%20a_%7B12%7D%20%5Cxi_%7Bx%7D%20%5Cxi_%7By%7D%2Ba_%7B22%7D%20%5Cxi_%7By%7D%5E%7B2%7D%20%5C%5C%0AA_%7B12%7D%3Da_%7B11%7D%20%5Cxi_%7Bx%7D%20%5Ceta_%7Bx%7D%2Ba_%7B12%7D%5Cleft(%5Cxi_%7Bx%7D%20%5Ceta_%7By%7D%2B%5Cxi_%7By%7D%20%5Ceta_%7Bx%7D%5Cright)%2Ba_%7B22%7D%20%5Cxi_%7By%7D%20%5Ceta_%7By%7D%20%5C%5C%0AA_%7B22%7D%3Da_%7B11%7D%20%5Ceta_%7Bx%7D%5E%7B2%7D%2B2%20a_%7B12%7D%20%5Ceta_%7Bx%7D%20%5Ceta_%7By%7D%2Ba_%7B22%7D%20%5Ceta_%7By%7D%5E%7B2%7D%20%5C%5C%0AB_%7B1%7D%3Da_%7B11%7D%20%5Cxi_%7Bx%20x%7D%2B2%20a_%7B12%7D%20%5Cxi_%7Bx%20y%7D%2Ba_%7B22%7D%20%5Cxi_%7By%20y%7D%2Bb_%7B1%7D%20%5Cxi_%7Bx%7D%2Bb_%7B2%7D%20%5Cxi_%7By%7D%20%5C%5C%0AB_%7B2%7D%3Da_%7B11%7D%20%5Ceta_%7Bx%20x%7D%2B2%20a_%7B12%7D%20%5Ceta_%7Bx%20y%7D%2Ba_%7B22%7D%20%5Ceta_%7Br%20y%7D%2Bb_%7B1%7D%20%5Ceta_%7Bx%7D%2Bb_%7B2%7D%20%5Ceta_%7By%7D%20%5C%5C%0AC%3Dc%20%5C%5C%0AF%3Df%20%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.

(書上這一段的完整推導過程看起來真的非??植溃俏覀冎灰榔渲凶兞看鷵Q的原理就行了,剩下都是體力活)

我們只要合理地選取%5Cxi%2C%20%5Ceta就可以簡化變換后的方程。例如,我們注意到,如果令方程

a_%7B11%7D%20z_%7Bx%7D%5E%7B2%7D%2B2%20a_%7B12%7D%20z_%7Bx%7D%20z_%7By%7D%2Ba_%7B22%7D%20z_%7By%7D%5E%7B2%7D%3D0

的特解為%5Cxi(x%2Cy)%2C%5Ceta(x%2Cy),就可以使A_%7B11%7D%3DA_%7B22%7D%3D0,從而完成簡化。

而上面這個方程可以化為常微方程。設有曲線族z(x%2Cy)%3DC,則有

%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20y%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20x%7D%20%3D-%5Cfrac%7Bz_x%7D%7Bz_y%7D%20

再根據(jù)前面方程化為

a_%7B11%7D%5Cleft(-%5Cfrac%7Bz_%7Bx%7D%7D%7Bz_%7By%7D%7D%5Cright)%5E%7B2%7D-2%20a_%7B12%7D%5Cleft(-%5Cfrac%7Bz_%7Bx%7D%7D%7Bz_%7By%7D%7D%5Cright)%2Ba_%7B22%7D%3D0

所以曲線族滿足

%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20y%7D%7B%5Cmathrm%7B~d%7D%20x%7D%3D%5Cfrac%7Ba_%7B12%7D%5Cpm%5Csqrt%7Ba_%7B12%7D%5E%7B2%7D-a_%7B11%7D%20a_%7B22%7D%7D%7D%7Ba_%7B11%7D%7D

所以方程給出2個曲線族,分別對應%5Cxi(x%2Cy)%3DC.

再根據(jù)上式根號內(nèi)對偏微分方程分類:%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0Aa_%7B12%7D%5E%7B2%7D-a_%7B11%7D%20a_%7B22%7D%3E0%EF%BC%8C%20%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%9E%8B%20%5C%5C%0Aa_%7B12%7D%5E%7B2%7D-a_%7B11%7D%20a_%7B22%7D%3D0%EF%BC%8C%20%E6%8A%9B%E7%89%A9%E5%9E%8B%5C%5C%0Aa_%7B12%7D%5E%7B2%7D-a_%7B11%7D%20a_%7B22%7D%3C0%EF%BC%8C%20%E6%A4%AD%E5%9C%86%E5%9E%8B%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.

以上幾類方程經(jīng)過(x%2Cy)%5Crightarrow(%5Cxi%2C%5Ceta)的變量代換之后,均可以化為標準形式。

雙曲型的標準形式:

u_%7B%5Cxi%20%5Ceta%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20A_%7B12%7D%7D%5Cleft%5BB_%7B1%7D%20u_%7B%5Cxi%7D%2BB_%7B2%7D%20u_%7B%5Ceta%7D%2BC%20u%2BF%5Cright%5D

而如果再令%5Cxi%20%3D%20%5Calpha%2B%5Cbeta%2C%5C%3B%5Ceta%20%3D%20%5Calpha-%5Cbeta?則可以得到另一標準形式:

u_%7B%5Calpha%20%5Calpha%7D-u_%7B%5Cbeta%20%5Cbeta%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7BA_%7B12%7D%7D%5Cleft%5B%5Cleft(B_%7B1%7D%2BB_%7B2%7D%5Cright)%20u_%7B%5Calpha%7D%2B%5Cleft(B_%7B1%7D-B_%7B2%7D%5Cright)%20u_%7B%5Cbeta%7D%2B2%20C%20u%2B2%20F%5Cright%5D

例如,波動方程u_%7Btt%7D-c%5E2u_%7Bxx%7D%3D0就屬于雙曲型方程。根據(jù)前面理論,如果令%5Cxi%3Dx%2Bct%2C%5C%3B%5Ceta%3Dx-ct,則方程就可以化為:

u_%7B%5Cxi%5Ceta%7D%3D0

其通解是u%3Df(x%2Bct)%2Bg(x-ct),f%2Cg為任意函數(shù)。從這個解就很容易看出c作為“波速”的實際意義。

拋物型的標準形式:

%5Cxi%0A滿足a_%7B11%7D%20z_%7Bx%7D%5E%7B2%7D%2B2%20a_%7B12%7D%20z_%7Bx%7D%20z_%7By%7D%2Ba_%7B22%7D%20z_%7By%7D%5E%7B2%7D%3D0,而%5Ceta不滿足上式,可以證明拋物型的標準形式是

u_%7B%5Ceta%20%5Ceta%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7BA_%7B22%7D%7D%5Cleft%5BB_%7B1%7D%20u_%7B%5Cxi%7D%2BB_%7B2%7D%20u_%7B%5Ceta%7D%2BC%20u%2BF%5Cright%5D

橢圓型的標準形式:

除去一個負號外,橢圓型和雙曲型應當是一樣的:

u_%7B%5Cxi%20%5Ceta%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20A_%7B12%7D%7D%5Cleft%5BB_%7B1%7D%20u_%7B%5Cxi%7D%2BB_%7B2%7D%20u_%7B%5Ceta%7D%2BC%20u%2BF%5Cright%5D

但是這一次%5Cxi%2C%5Ceta變?yōu)閺凸曹椀摹楹喕?,?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cxi%20%3D%20%5Calpha%2B%5Cmathrm%20i%20%5Cbeta%2C%20%5Ceta%20%3D%20%5Calpha-%5Cmathrm%20i%20%5Cbeta%5C%3B(%5Calpha%2C%5Cbeta%5Cin%5Cmathbb%20R)" alt="%5Cxi%20%3D%20%5Calpha%2B%5Cmathrm%20i%20%5Cbeta%2C%20%5Ceta%20%3D%20%5Calpha-%5Cmathrm%20i%20%5Cbeta%5C%3B(%5Calpha%2C%5Cbeta%5Cin%5Cmathbb%20R)">,得到

u_%7B%5Calpha%20%5Calpha%7D%2Bu_%7B%5Cbeta%20%5Cbeta%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7BA_%7B12%7D%7D%5Cleft%5B%5Cleft(B_%7B1%7D%2BB_%7B2%7D%5Cright)%20u_%7B%5Calpha%7D%2B%5Cleft(B_%7B2%7D-B_%7B1%7D%5Cright)%20u_%7B%5Cbeta%7D%2B2%20C%20u%2B2%20F%5Cright%5D

(先寫這么多吧,這一章開始越來越麻煩了...以后不一定一篇筆記對應書上一章了)

參考文獻

[1] 梁昆淼. 數(shù)學物理方法(第四版)[M]. 北京:高等教育出版社,2009.8,107~134.

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