數(shù)理方程來了||數(shù)理方法

//前面六章是復(fù)變函數(shù)與積分變換的主要內(nèi)容。
//現(xiàn)在開始下半篇數(shù)學(xué)物理方程了
//開學(xué)之后生產(chǎn)力急劇下降
//但是這個(gè)學(xué)期應(yīng)該是能更完的

7.1 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出
有許多物理模型,描述它們的方程具有類似的形式。以下將導(dǎo)出一些經(jīng)典物理模型中的微分方程,并將它們分為三大類:波動(dòng)方程、輸運(yùn)方程與穩(wěn)定場(chǎng)方程。
7.1.1 波動(dòng)方程
波動(dòng)方程廣泛出現(xiàn)在彈性力學(xué)、電磁學(xué)、力學(xué)等學(xué)科的相關(guān)模型中,它通常具有以下形式:
如果存在波源,則波動(dòng)方程為:
其中,是拉普拉斯算符,根據(jù)模型的實(shí)際情況可能是1至3維。
為波速。一維波動(dòng)方程通常寫為

其實(shí)上面這種寫法是數(shù)理方法書上的...我個(gè)人還是更習(xí)慣下面的寫法:
或者
這些也是大部分物理書籍、論文里波動(dòng)方程的常見形式。波速為.

例如,在電磁學(xué)中,有電磁勢(shì)滿足的波動(dòng)方程:
彈性力學(xué)中,固體中的 縱波與橫波都滿足波動(dòng)方程,波速分別是
分別是材料的楊氏模量和切變模量。
再如張力為,線密度
的弦上,微小的橫振動(dòng)也滿足波動(dòng)方程,波速為
再如理想傳輸線(我們以此為例展示方程的推導(dǎo)過程):
設(shè)有平行導(dǎo)線,電阻和電磁波輻射忽略。二者之間單位長(zhǎng)度的電容,單位長(zhǎng)度電感為
.
僅考慮兩線上電荷線密度與電流
均等大反向的對(duì)稱情況,則根據(jù)電流連續(xù)性有
再由電容電感的定義,可得
由上兩式,得到
前式對(duì)微分,后式對(duì)
微分,得到
這是一維波動(dòng)方程,波速為.
有趣的是,電容、電感這樣的參數(shù)應(yīng)當(dāng)是完全由傳輸線的形狀與空間相對(duì)位置決定的,并且根據(jù)各自的定義有各自不同的求法,但我們?cè)谶@里可以斷言它們的關(guān)系一定是
其中是光速。這是因?yàn)?,電線的傳輸速度當(dāng)然應(yīng)該是光速。
7.1.2 輸運(yùn)方程
輸運(yùn)方程的形式通常是
它出現(xiàn)在熱傳導(dǎo)與擴(kuò)散的模型中,在兩種模型中分別是溫度、擴(kuò)散物濃度。這里只簡(jiǎn)單解釋各項(xiàng)的含義:對(duì)時(shí)間一階微分項(xiàng)代表這一點(diǎn)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化速率;
一項(xiàng)描述這一點(diǎn)受到周圍的影響;右邊則是這一點(diǎn)的源強(qiáng)度。
7.1.3 穩(wěn)定場(chǎng)方程
靜電場(chǎng)、靜磁場(chǎng)都滿足穩(wěn)定場(chǎng)方程。經(jīng)典的泊松方程就屬于穩(wěn)定場(chǎng)方程,形如
可以描述靜電場(chǎng)電勢(shì)、穩(wěn)定溫度場(chǎng)、穩(wěn)定濃度場(chǎng)、穩(wěn)恒電流場(chǎng)等模型。
如靜電場(chǎng)的泊松方程:
穩(wěn)恒電流場(chǎng)中也有類似的方程:
對(duì)于存在熱源的穩(wěn)定溫度場(chǎng),也有
許多模型都有相近的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。
7.2 定解條件
除了決定系統(tǒng)的微分方程,我們還需要定解條件來確定系統(tǒng)物理參量與時(shí)間、空間的函數(shù)關(guān)系。定解條件分為三種:初值條件、邊界條件、銜接條件。
以下將以實(shí)例說明幾種定解條件:
場(chǎng)景1:弦張力,線密度
,一端固定于
,在
處固定了質(zhì)量為
的質(zhì)點(diǎn)。令
表示橫向位移,
處是自由端,輸入入射波
.
這個(gè)場(chǎng)景中出現(xiàn)了以下的定解條件:
①?處被固定,所以恒有
;
處有入射波,所以
.
這被稱為第一類邊界條件:直接規(guī)定所研究物理量在邊界上的值。
② 初始時(shí)刻,弦的各點(diǎn)位置被稱為初值條件:規(guī)定
時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)。
③ 在質(zhì)點(diǎn)所在的位置,由于質(zhì)需受力產(chǎn)生加速度,在這一點(diǎn)出現(xiàn)了的偏導(dǎo)不連續(xù)的情況。在該模型中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以寫為:
這被稱為銜接條件,聯(lián)系了不連續(xù)的質(zhì)點(diǎn)兩側(cè)。
場(chǎng)景2:質(zhì)量不可忽略,長(zhǎng)度,勁度系數(shù)
線密度為
的彈簧,右端有質(zhì)點(diǎn)
,左端是自由端。令
表示彈簧上某質(zhì)點(diǎn)相對(duì)初始位置的偏移。同時(shí)質(zhì)點(diǎn)處于力場(chǎng)
中。
我們可以證明彈簧上某點(diǎn)的張力可以寫為.?
?① 由于自由端不受外力,有
這被稱為第二類邊界條件,給出所研究物理量在邊界法線方向上的導(dǎo)數(shù)。
?② 質(zhì)點(diǎn)受力,可列出運(yùn)動(dòng)方程:
這被稱為第三類邊界條件,給出所研究物理量及其在邊界法線方向?qū)?shù)的關(guān)系。
7.3 數(shù)理方程分類
首先,形如
被稱為線性二階偏微分方程。這是本課程重點(diǎn)研究的對(duì)象。
我們考慮兩個(gè)自變量的情況,分類并化為標(biāo)準(zhǔn)形式。
這是此類方程的一般形式。作自變量代換:
(代換的雅可比行列式.)
我們可以證明,變量代換后微分方程將化為新變量的二階線性偏微分方程
變換前后方程各項(xiàng)系數(shù)滿足關(guān)系:
(書上這一段的完整推導(dǎo)過程看起來真的非??植溃俏覀冎灰榔渲凶兞看鷵Q的原理就行了,剩下都是體力活)
我們只要合理地選取就可以簡(jiǎn)化變換后的方程。例如,我們注意到,如果令方程
的特解為,就可以使
,從而完成簡(jiǎn)化。
而上面這個(gè)方程可以化為常微方程。設(shè)有曲線族,則有
再根據(jù)前面方程化為
所以曲線族滿足
所以方程給出2個(gè)曲線族,分別對(duì)應(yīng).
再根據(jù)上式根號(hào)內(nèi)對(duì)偏微分方程分類:
以上幾類方程經(jīng)過的變量代換之后,均可以化為標(biāo)準(zhǔn)形式。
雙曲型的標(biāo)準(zhǔn)形式:
而如果再令?則可以得到另一標(biāo)準(zhǔn)形式:
例如,波動(dòng)方程就屬于雙曲型方程。根據(jù)前面理論,如果令
,則方程就可以化為:
其通解是,
為任意函數(shù)。從這個(gè)解就很容易看出
作為“波速”的實(shí)際意義。
拋物型的標(biāo)準(zhǔn)形式:
取滿足
,而
不滿足上式,可以證明拋物型的標(biāo)準(zhǔn)形式是
橢圓型的標(biāo)準(zhǔn)形式:
除去一個(gè)負(fù)號(hào)外,橢圓型和雙曲型應(yīng)當(dāng)是一樣的:
但是這一次變?yōu)閺?fù)共軛的。為簡(jiǎn)化,取
,得到

(先寫這么多吧,這一章開始越來越麻煩了...以后不一定一篇筆記對(duì)應(yīng)書上一章了)
參考文獻(xiàn)
[1] 梁昆淼. 數(shù)學(xué)物理方法(第四版)[M]. 北京:高等教育出版社,2009.8,107~134.