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在之前的推導(dǎo)過程里有幾個命題是等價的,? 1)?尺度關(guān)系式?%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_k%5CPhi(2x-k))
等價于?
;? 2) 標準正交性?%5CPhi(x-l)dx%3D%5Cdelta_%7B0%2Cl%7D)
等價于?
;? 3)?N 階 D-小波擁有 N 階消失矩?dx%3D0%3B%5C%3Bm%3D0%2C%5C%2C%5Ccdots%2C%5C%2CN-1)
等價于?%5Ekp_kk%5Em%3D0%3B%5C%3Bm%3D0%2C%5C%2C%5Ccdots%2C%5C%2CN-1)
?[證明過程不明].? 由這幾條累加式可以精確地求出 N 等于 1 至 3 時尺度系數(shù) 
的數(shù)值,? 但對于 N>3 的情況只能求出數(shù)值近似解.? 下面以 %7D_k)
給出 N 階 D-小波的第 k 個尺度系數(shù)的精確值:
?%7D_0%3Dp%5E%7B(1)%7D_1%3D1)
?%7D_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(1%2B%5Csqrt3))
,?%7D_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(3%2B%5Csqrt3))
,?%7D_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(3-%5Csqrt3))
, %7D_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(1-%5Csqrt3))
%7D_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D(1%2B%5Csqrt%7B10%7D%2Bq))
, %7D_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D(5%2B%5Csqrt%7B10%7D%2B3q))
, %7D_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D(5-%5Csqrt%7B10%7D%2Bq))
, %7D_3%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D(5-%5Csqrt%7B10%7D-q))
, %7D_4%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D(5%2B%5Csqrt%7B10%7D-3q))
,?%7D_5%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D(1%2B%5Csqrt%7B10%7D-q))
,? 其中?
.
使用上面幾條方程組求解 N>3 時尺度系數(shù)的數(shù)值成本過高,? 需要更快速的算法,??Daubechies 提出了一個解多項式零點求尺度系數(shù)的算法:
求解多項式?q%5Ek)
的零點,? 得出 N-1 個復(fù)根?
.? 然后對每個復(fù)根求解多項式?
,? 每個 q 都可以解出兩個 r,? 只保留模長小于 1 的那個,? 得到數(shù)列?
.? 使用這個數(shù)列組合得多項式 %5EN%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN-1%7D(z-r_k))
,? 這個多項式與?
等價,? 其中 M 是一個常數(shù),? 求得這個多項式各項系數(shù)后逆序得系數(shù)?
,? 那么尺度系數(shù) 
由 %5E%7B-1%7D)
給出.
特別地,? 如果求解 r 時保留模長大于 1 而不是小于 1 的,? 那么??與 
等價.? 雖然這時候不需要逆序多項式系數(shù),? 但是原文并不是使用這種.
當使用數(shù)值求解尺度系數(shù)時,? 由于浮點數(shù)誤差,? 并不會精確給出實數(shù)數(shù)值,? 直接取結(jié)果的實值就好.? 下面給出 julia 的實現(xiàn)
q 的值是由 Polynomials 包提供的方法解多項式的根給出,? 第一個 r 是?
的其中一個解,? 當 r 的模長大于 1 時由 1/r 給出 r 的第二個解,? 代碼其余部分就是求系數(shù)了.
?:? 我發(fā)現(xiàn)僅當?%20%5Ccup(%5CRe%5Bq%5D%3E1%5Ccap%5CIm%5Bq%5D%5Cneq0))
才會滿足條件 abs2(r) ≥?1,? 并且驗證了 N 從 1?到 30 產(chǎn)生的所有 q 都不在這個范圍里,? 所以有理由懷疑標記著 ? 的語句永遠也不會執(zhí)行.? 但是不會如何證明這個猜想,? 所以還是把語句留在上面算了.
代碼已上傳的 gayhub:?github.com/nyasyamorina/trash-bin/blob/main/wavelet%20-%20Daubechies.jl
不過雖然但是,? 代碼都已經(jīng)貼出來了,? 也不需要再去 gayhub 了.
日常推瑟圖群:?274767696
封面pid:?79581830
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