自考 軟件工程 02197 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（二）
第一章
第一節(jié) 隨機(jī)事件
一、隨機(jī)現(xiàn)象
確定性
在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象
隨機(jī)現(xiàn)象
在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象
二、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間
隨機(jī)試驗(yàn)
可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行
每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果
進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果
在概率論中，把具有一下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)
樣本空間、樣本點(diǎn)
定義：隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S。樣本空間的元素，即試驗(yàn)E的每一個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)
三、隨機(jī)事件的概念
樣本空間S包含所有的樣本點(diǎn)，它是S自身的子集，在每次實(shí)驗(yàn)中它總是發(fā)生的，S稱為必然事件
空集?不包含任何點(diǎn)，它也作為樣本空間的子集，它在每次實(shí)驗(yàn)中都不發(fā)生，?稱為 不可能事件
必然事件的對(duì)立面是不可能事件，不可能事件的對(duì)立面是必然事件，它們互稱為對(duì)立事件
幾點(diǎn)說(shuō)明
隨機(jī)事件可簡(jiǎn)稱為事件，并以大寫(xiě)英文字母A,B,C來(lái)表示事件
隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系
每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間，樣本空間的子集就是隨機(jī)事件
四、隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算
設(shè)實(shí)驗(yàn)的樣本空間為S。而
$$
A,B,A_K(K=1,...)
$$
是S的子集
若A?B，則稱事件A包含于事件B，這指的是事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生。
若A?B且B?A，則 稱事件A與事件B相等
2. 事件 A∪B={x|x∈A或x∈B}，稱為事件A與事件B的和事件，當(dāng)且僅當(dāng)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件A∪B發(fā)生
逆概公式：
事件A∩B={x|x∈A且x∈B}，稱為事件A與事件B的積事件，當(dāng)且僅當(dāng)A,B同時(shí)發(fā)生時(shí)事件A∩B發(fā)生，A∩B也記作AB。
A和B重疊部分
事件A-B={x|x∈A且x?B}，稱為事件A與事件B的差事件，當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生，B不發(fā)生時(shí)，A-B發(fā)生
若 A∩B=?，則稱事件A與事件B是互不相容，或互斥的，這指的是事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，基本事件是兩兩互不相容的
A的對(duì)立事件記為
對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別
設(shè)有n個(gè)事件
$$
A_1,A_2,...,A_n
$$如果其滿足：
交換律
$$
A∪B=B∪A; A∩B=B∩A
$$結(jié)合律
$$
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
$$分配律
$$
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
$$德摩根率
$$
A_iA_j=\Phi(i≠j,i，j=1,2,...,n)
$$則稱
$$
A_1,A_2,...,A_n
$$構(gòu)成互不相容的完備事件組
事件間的運(yùn)算規(guī)律，設(shè)A,B,C為事件，則有
互不相容的完備事件組
若A∪B=S且A∩B=?，則稱事件A與事件B互不相容事件，又稱事件A與事件B互為逆事件
第二節(jié) 概率
一、頻率
頻率的定義
在相同條件下，進(jìn)行了n次2試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)
$$
n_A
$$稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)
比值
$$
n_A/n
$$稱為事件A發(fā)生的頻率，記作
$$
f_n(A)
$$$$
f_n(A)=n_A/n
$$頻率的性質(zhì)
設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)E的任一事件，則
$$
0\leq f_n(A)\leq1
$$$$
f_n(S)=1
$$若
$$
A_1,A_2,...,A_K
$$是兩兩互不相容的事件，則
$$
f_n(A_1∪A_2∪···∪A_k)=f_n(A_1)+f_n(A_2)+···+f_n(A_k)
$$$$
\because AB= \Phi
$$若A∪B發(fā)生，即A或B其中之一發(fā)生，但A與B不同時(shí)發(fā)生
所以
$$
n_{A∪B} = n_A + n_B
$$得
$$
f_n(A∪B)=\frac{n_{AB}}{n}=\frac {n_A}{n}+ \frac {n_B}{n}=f_n(A)+f_n(B)
$$
二、古典概型
古典概型定義
若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件
樣本空間S只包含有限個(gè)樣本點(diǎn)
每個(gè)樣本點(diǎn)（基本事件）出現(xiàn)得可能性相同
稱這種試驗(yàn)為古典概型
概率的古典定義
定義：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間S包含n個(gè)基本事件，事件A包含k個(gè)基本事件，則有
$$
P(A) = \frac kn= \frac{A包含的基本事件}{S中基本事件的總數(shù)}
$$該式稱為隨機(jī)事件A的概率，記作P(A)
解決古典概型問(wèn)題的步驟如下：
分析題目是否滿足古典概型的條件即“樣本空間有限和等可能性”兩個(gè)條件
計(jì)算出樣本空間所包含的所有基本事件的總數(shù)n
計(jì)算出事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)k
代入公式
$$
P(A) = \frac kn
$$計(jì)算概率
排列組合是計(jì)算古典概率的有力工具
三、概率的定義和性質(zhì)
定義：設(shè)E為隨機(jī)試驗(yàn)，S為E的樣本空間，對(duì)于E的每一個(gè)事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，稱為事件A發(fā)生的概率，其中集合函數(shù)P()滿足以下條件：
對(duì)于任意的事件A，
$$
P(A) \geq 0
$$$$
P(S) =1
$$對(duì)于任意兩兩互不相容的事件
$$
A_1,A_2,...,P(A_1\cup A_2 \CUP ···)=P(A_1)_ P(A_2)+···\\ A_iA_j=\Phi,i\neq j
$$
概率的性質(zhì)
$$
P(\Phi)=0，即：不可能事件發(fā)生的概率為0
$$有限可加性
$$
若A_iA_j= \Phi ?（i \neq j,i,j=1,2,...n),則 \\ P(A_1 \cup ··· \cup ?A_n)=P(A_1)+P(A_2)+···+P(A_n)
$$不交的有限個(gè)集合的總面積 = 各個(gè)集合面積相加
推論1：對(duì)于任意的事件A和B，有
$$
P(A)=P(AB)+P(A \bar{B})
$$
推論2：：若
$$
B_1,B_2,···，B_n是樣本空間S的一個(gè)劃分，即B_1 \cup B_2 \cup B_n=S且B_iB_j= \Phi (i \neq j)，則 \\\\
P(A) = P(AB_1)+P(AB_2)+···+P(AB_n) \\
\\
P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) \\\\
P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)
$$
推論3：
$$
P(B-A) = P(B)-P(AB)
$$
推論4：對(duì)于任意事件A，有
$$
P(A) \leq 1
$$
推論5：
$$
P(\bar A )=1-P(A)
$$
第三節(jié) 條件概率
一、條件概率與乘法公式
定義：
$$
設(shè)A、B是任何兩個(gè)事件，P(A)>0，則稱 \frac {P(AB)}{P(A)}為A發(fā)生的條件下，B發(fā)生的條件概率，記作\\\\
P(B \mid A)=\frac {P(AB)}{P(A)}\\\\
P(B \mid A)就是在A發(fā)生前提條件下， \\
計(jì)算B發(fā)生的概率
$$
乘法公式
$$
定理：設(shè)P(A) >0，則P(AB)=P(A)P(B \mid A) \\
注1：設(shè)P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A\mid B) \\
多個(gè)乘積情形 設(shè)P(A_1A_2···A_n)>0，則\\
P(A_1A_2···A_n)=P(A_1A_2···A_{n-1})P(A_n\mid A_1···A_{n-1} ) \\
=P(A_1)P(A_2 \mid A_1)···P(A_{n-1} \mid A_1···A_{n-2})P(A_n \mid A_1···A_{n-1})
$$
二、全概率公式與貝葉斯公式
全概率公式：
A_1,A_2,...,A_n為互不相容的完備事件組（分割），且P(A_i) > 0，i=1,2,...,n.B= BA_1 \cup BA_2 \cup......\cup BA_n,則P(B)=P(A_1)P(B\mid A_1)+...+P(A_n)P(B\mid A_n)
貝葉斯公式：
設(shè)B_1,B_2,...,B_n為樣本空間E的一個(gè)劃分，P(B_j)>0，且P(A\mid B_j)，則P(B_i\mid A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)}=\frac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{\sum\limits_{j=1}^nP(B_j)P(A\mid B_j)}
方法：全概率公式+乘法公式
第四節(jié) 事件的獨(dú)立性
一、事件的獨(dú)立性
定義：若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A和B相互獨(dú)立。
結(jié)論：若事件A和B相互獨(dú)立，則A與\bar B，\bar A與B，\bar A與\bar B也相互獨(dú)立
定義：若事件A_1,A_2,...,A_n滿足條件P(A_{i1}A_{i2}...A_{ik})=P(A_{i1})P(A_{i2})...P(A_{ik})(k-1,...,n)
稱事件A_1,A_2,...,A_n相互獨(dú)立。
二、n重伯努利試驗(yàn)
n重伯努利試驗(yàn)：各次試驗(yàn)是獨(dú)立的，每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果A和\bar A
這種試驗(yàn)的概率模型叫做伯努利概型
設(shè)P(A)=p，則在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率是P_n(k)=C_n^k(1-p)^{n-k},K=0,1,...,n
注意：與人數(shù)、個(gè)數(shù)、次數(shù)等計(jì)數(shù)有關(guān)的概率問(wèn)題往往是伯努利概型
本章小結(jié)
本章是概率論最基礎(chǔ)的部分，所有內(nèi)容圍繞隨機(jī)事件和概率兩個(gè)概念展開(kāi)。本章的重點(diǎn)內(nèi)容包括：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算，概率的基本性質(zhì)，條件概率與乘法公式，事件的獨(dú)立性。本章的基本內(nèi)容及要求如下：
理解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件的概念，掌握事件的四種運(yùn)算：事件的并、事件的交、事件的差和事件的余。掌握事件的四個(gè)運(yùn)算法則：交換律、結(jié)合律、分配律和對(duì)偶律，理解事件的四種關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、對(duì)立關(guān)系和互不相容關(guān)系。
了解古典概型的定義，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的古典概型中的相關(guān)概率。
理解概率的定義，理解概率與頻率的關(guān)系，掌握概率的基本性質(zhì)：
0<p(A)<1,P(\Omega)=1,p(\Phi)=0
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)，特別地，當(dāng)A與B互不相容時(shí)，P(A\cup B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(B)
P(\bar A)=1-P(A)
會(huì)用這些性質(zhì)進(jìn)行概率的基本運(yùn)算
理解條件概率的概念：
$$
P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}
$$掌握乘法公式：
$$
P(AB)=P(A)P(B\mid A)=P(B)P(A\mid B),P(A)>0
$$會(huì)用條件概率公式和乘法公式進(jìn)行概念計(jì)算
掌握全概率公式和貝葉斯公式，會(huì)用它們計(jì)算較簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題
有一點(diǎn)需注意，就是利用概率的基本性質(zhì)、條件概率、乘法公式以及事件獨(dú)立性計(jì)算概率，它們的綜合使用略顯復(fù)雜，但其間有一個(gè)重要的角色P(AB)，幾乎把它們聯(lián)系在一起，P(AB)是求解概率的關(guān)鍵。
理解n重伯努利試驗(yàn)的定義，掌握伯努利概率的重要計(jì)算公式：
$$
P_n(k)=C_n^kP^k(1-P)^{n-k},k=0,1,...,n.其中P(A)=p
$$
