之前我還覺得寫不了廣相來著，現(xiàn)在想還可以試一下，試試把廣相的數(shù)學(xué)用文字和圖片理解（？）因為后面的黑洞理論很有趣，包括黑洞熱力學(xué)，也就是霍金時代的一些理論，確實很漂亮，想拿出來介紹一下（雖說我廣相只是學(xué)了個開頭，后面基本是只看結(jié)論了的，希望我寫的能夠理解）（漂亮！就是本系列的主旨！本期的主題是，漂亮的場方程！）

引言

還是先從歷史說起。萬有引力定律，是牛頓在很早就建立了的一條定律，它描述任意兩個物體之間都有引力，并且引力與兩物體的質(zhì)量成正比，與距離成平方反比。牛頓同樣還建立過一個牛頓第二定律，它描述物體運動的加速度與外力成正比，與質(zhì)量成反比。那么這里出現(xiàn)了兩個質(zhì)量。這兩個質(zhì)量，它們的作用完全不同，但是在牛頓之后的時代，這兩者都是同一個質(zhì)量似乎是人們的共識。為了嚴謹，我們現(xiàn)在給它們?nèi)〔煌拿郑芩鼈兘凶?span id="2s04ssssssss" class="color-pink-03 font-size-16">引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量。這之后，有諸多的實驗測量了物體的引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量是否相等（或 成正比），譬如最有名的伽利略在比薩斜塔上扔鉛球的實驗（雖說這個實驗很有可能并未真正進行過），證實不同質(zhì)量的物體在引力場下的加速度相同。之后也有很多的實驗，在更高的精度上，證實了物體的引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等（或者說成正比，在取標準單位制后，相等）。

那么，這兩個看似沒有關(guān)聯(lián)的量，一個代表它在引力場中受力的大小，一個代表它被推動的難易程度，為什么會相等呢？

part2里，愛因斯坦在1905年，發(fā)表了《論動體的電動力學(xué)》，建立了狹義相對論，認為時間和空間是一個整體，叫做閔可夫斯基時空。

隨后愛因斯坦注意到了這個問題。首先牛頓的萬有引力定律和愛因斯坦的狹義相對論并不相容，萬有引力定律暗示引力是瞬間傳播的超距作用，與狹義相對論里信息最多以光速傳播矛盾。也就是說，在現(xiàn)在的狹義相對論框架下，迫切需要一個新的引力理論填補空白。而且，這兩個質(zhì)量嚴格相等，暗示著在時空的一點放下任何物體，物體都會隨一個固定路徑，固定速度運動，與物體本身的質(zhì)量無關(guān)。

這種毫無個性的集體行為強烈地暗示著引力是整個時空背景的內(nèi)稟性質(zhì)，與其他力有實質(zhì)性的差別?！猍1]

那么這時，愛因斯坦就有了一個大膽的設(shè)想?；蛟S這個引力并不是先有一個力，而后力再拉動物體。而是這個時空的幾何結(jié)構(gòu)讓物體自然的以這個軌跡運動。這就與物體的質(zhì)量啊引力啊無關(guān)了。在時空的固定點放下任何的一個自由物體，物體都會因為時空本身的結(jié)構(gòu)而以固定路徑，固定速度運動。

那么，這個時候，就與狹義相對論不同了。為了描述時空的幾何結(jié)構(gòu)，需要一個額外的數(shù)學(xué)工具，叫做微分幾何。詳述微分幾何有點難度，這里會嘗試以文和圖來淺顯地大致描述一下......

（所以事實上，廣義相對論是一個描述引力的理論，它是構(gòu)建在狹義相對論的基礎(chǔ)上，但是這并不意味著廣義相對論是狹義相對論的完備化，而是一個納入了新要素的推廣。可以認為，與名字“廣，狹”無關(guān)，這兩者是兩個不同的理論。）

彎曲的空間

廣義相對論涉及到彎曲的時空，那么彎曲的空間是什么樣子的呢？

定量化描述彎曲空間的量一般是曲率和撓率。首先舉個最簡單的例子，人類生活在地球上，地球表面是個球面，這就是一個彎曲的二維空間。但是呢，之所以說它是球面，是因為它在被嵌入外部的三維空間來看的時候，它是球形彎曲的。這被叫做外曲率。而相對，如果只通過在曲面上的觀測而測得的彎曲程度，被叫做內(nèi)稟曲率。比如說，一個柱面的內(nèi)稟曲率就是0（而外曲率并不為0），也就是說，如果不跳到更高維空間（三維），只在曲面上進行測量的話，是分不出一塊柱面和一塊平面的區(qū)別的。（當然完整的柱面存在周期性而平面沒有，這是區(qū)別，但是這是廣域的性質(zhì)。這里所述的分不出區(qū)別，是只考慮在曲面上局域的測量，也就是相對曲面本身很小的一塊區(qū)域。）

有內(nèi)稟曲率的曲面，在幾何上的性質(zhì)和平面肯定是有區(qū)別的。比如說，球面上的三角形內(nèi)角和是要大于180度的。比如我們?nèi)∵@樣一個三角形：

可以看到，這個三角形的三個角都是直角，內(nèi)角和是270度，并不是我們常見的歐幾里得幾何的180度。（p.s.事實上，我聽說曾經(jīng)有人測過地球上大三角形的內(nèi)角和（假設(shè)光行直線），由于具體出處不詳正確性不詳大家慎重相信，如果有人知道歡迎告訴我...）

這只是宏觀來看的一個例子。如果曲面更加復(fù)雜，每個地方的彎曲程度都不一樣，就需要一個量來定量描述彎曲程度了，也就是剛才提到的曲率和撓率。

那么在曲面內(nèi)，有什么方法可以觀測到曲率和撓率呢？幾何上來講，有撓率的空間，一個點沿兩個不同順序的向量平移會平移至不同的點；有曲率的空間，一個向量沿不同路徑平移后結(jié)果不相等。就像下圖這樣：

還是拿二維曲面直觀的來看，像這圖里一樣，一個向量沿著這個環(huán)形平移一圈之后，和原來不相等。

但是，我們還是需要一個微觀的定量的描述彎曲程度的量。這個量就是黎曼曲率張量，或者叫里奇張量R。

這個式子看不懂不要緊。里奇張量可以理解為，一個向量先沿b求導(dǎo)再沿a求導(dǎo)，與它先沿a求導(dǎo)再沿b求導(dǎo)之差。就算不知道具體的算法和定義，也可以看出與之前向量平移的圖類似了吧。描述時空本身的量稱為度規(guī)張量gab（其中ab是下標），而曲率張量則是gab的一個函數(shù)。（對這里面的數(shù)學(xué)有興趣的同學(xué)可以參考文末的參考文獻[1]。）

（p.s.廣義相對論中的空間默認都是無撓的，只有曲率沒有撓率。）

相對性原理與等效原理

好了，那么數(shù)學(xué)完了，接下來該物理了。狹義相對論的基本假設(shè)中有一狹義相對性原理：一切慣性系中的物理定律形式相同。相信很多人也聽說過，愛因斯坦將其推廣到了廣義相對性原理：一切參考系中的物理定律形式均相同，將慣性系與非慣性系平權(quán)。這一原理有許多描述，課本[1]中使用的描述是這樣的：

只有時空度規(guī)（及其派生量）才允許以背景幾何量的身份出現(xiàn)在物理定律的表達式中。

值得注意的是，僅在狹義相對論的框架下，這個“慣性系”是不能被推廣的。就比如孿生子悖論：一對孿生子，其中一人靜止不動，另一人乘坐飛船出去再回來，這兩人會產(chǎn)生一個時間差。這兩個參考系一是慣性系，另一不是慣性系，所以它們是不等價的。在廣相的框架下，世界線的彎曲（也就是加速度）被體現(xiàn)在了度規(guī)上（也就是時空彎曲）。

廣義相對論的另一基本假設(shè)是等效原理：在引力場中自由下落的無自轉(zhuǎn)參考系與平直時空（無引力場的參考系）局域等價，其中的一部分也就是前面講到的引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量相等。愛因斯坦將弱等效原理：這兩個參考系內(nèi)所有力學(xué)實驗結(jié)果應(yīng)相同，推廣到了愛因斯坦等效原理：這兩個參考系內(nèi)的一切（非引力的）實驗結(jié)果應(yīng)相同。愛因斯坦使用這個假設(shè)推理出了諸如光譜紅移、光線彎曲等結(jié)論。

愛因斯坦場方程

這兩個假設(shè)是很基本的，也是看起來很應(yīng)該有的。但是只有這兩個等效假設(shè)，并不能完整的描述物理場景。廣相想要達到的，是：有質(zhì)量的物體會使周圍的時空彎曲，彎曲時空中的自由物體會沿測地線移動。這句話包含了兩點：質(zhì)量如何引起時空彎曲（場的形成），以及物體如何受彎曲時空影響（運動學(xué)）。第一個，我們需要一個場方程來描述。愛因斯坦（當然是猜）出了一個方程，現(xiàn)稱愛因斯坦場方程：

（已使用自然單位制，c=4πε0=μ0/4π=?=kB=1）等式左側(cè)的g是時空度規(guī)張量，R是里奇張量，也就是時空結(jié)構(gòu)的函數(shù)；右側(cè)的T是物質(zhì)場的能動張量，代表空間內(nèi)的物質(zhì)分布。這式子將“源（物質(zhì)分布）”（右側(cè)）決定“場（時空彎曲）”（左側(cè)）的物理美學(xué)體現(xiàn)的淋漓盡致。

但是，這個方程還與像麥克斯韋方程組那種“源”決定“場”的式子有些許區(qū)別。麥克斯韋方程組（參見part1的式23）同樣是左側(cè)是場，右側(cè)是源，它體現(xiàn)的是“電場的無旋分量由電荷決定，有旋分量由磁場變化率決定；磁場由電流與電場變化率決定”，如果給定了源，也就是等式右側(cè)的電荷和電流分布，等式左側(cè)的電磁場是可以直接求解的。但是愛因斯坦場方程不一樣。即使給定物質(zhì)分布，等式右側(cè)的能動張量Tab仍是與時空背景gab有關(guān)的。未知數(shù)同時出現(xiàn)在了左側(cè)和右側(cè)，而且它甚至還是高度非線性的二階微分方程。這導(dǎo)致它的精確解極其稀少。下面的史瓦西解就是它的第一個精確解（你看，第一個解還不是愛因斯坦解出來的。）

場方程的幾個精確解

在廣義相對論發(fā)表后不久，史瓦西（Schwarzschild）求得了愛因斯坦場方程第一個精確解：史瓦西解。史瓦西解是一個描述靜態(tài)球?qū)ΨQ星體外部引力場的解。史瓦西解的線元形式如下：

（此處開始使用幾何單位制，即在自然單位制中再要求G=1）度規(guī)（ds2）本身的意義可以簡單的理解為每一點附近不同方向向量的長度。

在后面以及下一個part將會對史瓦西黑洞做更詳細的介紹，這里繼續(xù)簡單介紹一下其他有名的場方程的解。史瓦西度規(guī)的外部是真空，不少實際星體帶有電荷，其周圍的電磁場的能動張量Tab也會產(chǎn)生引力效應(yīng)。RN度規(guī)即是球?qū)ΨQ的帶電星體外部解：

（列出形式是因為和下一part有關(guān)）。進一步放低對稱性要求至軸對稱，還可以解出克爾-紐曼度規(guī)（Kerr-Newman），由于形式復(fù)雜就不列在這里了?？藸?紐曼度規(guī)描述的即是帶自轉(zhuǎn)的帶電星體，也就是比較一般的——克爾-紐曼黑洞。

史瓦西黑洞

引力是會使時空彎曲的，但是會彎曲到什么程度呢？和一般的引力又有什么區(qū)別呢？我們還是來看史瓦西度規(guī)：

仔細看一下就會發(fā)現(xiàn)，這個式子是有可能發(fā)散的。在r→0以及r→2M的時候，度規(guī)的某些分量會趨于無窮大。我們稱這些點為奇點（singularity）。奇點的出現(xiàn)一般有兩個原因，一是度規(guī)本身沒什么問題，只是坐標系沒選好，這叫坐標奇點，可以通過變換適當?shù)淖鴺讼等コ?；二是時空本身在這點就有問題，這叫時空奇點。上式的史瓦西解，在r=2M處的奇點是坐標奇點，在r=0處的奇點是時空奇點。事實上，r=2M（史瓦西半徑，實際上是個球面，換算至標準單位制就是r=2GM/c2）就是經(jīng)典黑洞中，光也無法逃出的范圍，也就是事件視界：在事件視界內(nèi)的光信號無法傳播至無窮遠。

平直時空的球坐標度規(guī)是ds2=-dt2+dr2+r2(dθ2+sin2θdφ2)，其中時間項是負的，空間三維是正的。但是在史瓦西度規(guī)中，當r<2M在事件視界內(nèi)時，dt2前面的系數(shù)變成了正數(shù)，dr2的系數(shù)反而變成了負數(shù)！這又代表著什么呢？讀者可以思考一下，時間和空間的本質(zhì)區(qū)別在哪里呢？

它們的區(qū)別就是，時間只能單向流逝，而空間則可以雙向。對比一下，在黑洞的事件視界內(nèi)，外部視角的時間t承擔了“空間”的角色，而外部視角的半徑r則承擔了“時間”的角色，在事件視界內(nèi)的物體，r只能夠單向流逝，只能單向掉入黑洞而無法逃逸。

當然這是定性的認知，我們?nèi)匀挥卸坑嬎愕氖侄巍Ｓ捎谏厦嫣岬绞吠呶鞫纫?guī)在r=2M時有分量趨于無窮大，計算穿過r=2M球面的物體就需要改變一下坐標系了。記得在狹義相對論中一般會用到的時空圖與光錐的概念：

未來光錐表示該點可以影響到的時空區(qū)域，過去光錐表示可以影響到該點的時空區(qū)域。使用時空圖可以較為直觀的表示時空的性質(zhì)。對于史瓦西黑洞，可以使用內(nèi)向Eddington坐標系，如圖：

這兩族曲線即為內(nèi)向射入與外向射出的光線?？梢钥吹剑趓=2M外部的光錐仍然是正常的，而r=2M內(nèi)部的光錐則全部偏向了內(nèi)側(cè)！也就是說，從那里向“外”射出的光線，仍然會受到黑洞的吸引而落入黑洞中心的奇點。

這一篇由于篇幅原因，就先在這里結(jié)束，下一篇會繼續(xù)介紹史瓦西黑洞、克爾-紐曼黑洞附近時空的相關(guān)性質(zhì)，以及這兩篇的重點：黑洞熱力學(xué)三定律。我們將會看到黑洞熱力學(xué)與傳統(tǒng)的熱力學(xué)之間美妙的相似性，感嘆宇宙的神奇之處。

結(jié)語

廣義相對論適用于大尺度結(jié)構(gòu)，是關(guān)于引力的理論，是關(guān)于時間與空間的理論，是關(guān)于宇宙的理論。古人云：上下四方曰宇，古往今來曰宙。廣義相對論為理解我們宇宙的奧妙提供了一把有力的工具。

參考文獻：[1]梁燦彬，《微分幾何入門與廣義相對論》。

附錄：上級者向

細心的讀者可能看出來了，文中有一些并沒太敘述完整的部分，這些部分會涉及到額外的問題。

(1)在牛頓的萬有引力定律里，提到了物體在引力場中受力的大小，對應(yīng)的還有一種產(chǎn)生引力場的強弱的質(zhì)量，這種主動引力質(zhì)量和被動引力質(zhì)量也是本質(zhì)上不同的兩個質(zhì)量，在萬有引力時，由于牛頓第三定律，作用力與反作用力相等，這兩個質(zhì)量相等似乎是顯而易見的。但是在廣義相對論中，引力并不是一種力，這兩者就變成了不同的兩個概念。這兩者在實驗中為何相等，現(xiàn)在還不是很清楚。（參考：質(zhì)量 -?維基百科，自由的百科全書#cite_note-18）

(2)愛因斯坦等效原理處，敘述為兩個參考系內(nèi)的一切非引力的實驗結(jié)果應(yīng)相同。對應(yīng)還有一種強等效原理，它考慮了參考系里的自引力系統(tǒng)，也就是對參考系里的兩個物體之間的萬有引力相關(guān)的實驗，結(jié)果也應(yīng)相同。弱等效原理已被大部分實驗證實，廣義相對論滿足強等效原理，但是其余的引力度規(guī)理論有很大可能不滿足強等效原理。如果有關(guān)強等效原理的實驗給出正結(jié)果，那么廣義相對論可能就是唯一正確的引力理論。

(3)你沒看錯，結(jié)尾就是放了一張白井黑子的圖。