中考完一個(gè)多月了，三年里做數(shù)學(xué)題也收獲了些比較好用的小結(jié)論，以后大概不會(huì)用到第二遍。一方面防止自己以后忘，一方面跟各位分享一下，就寫(xiě)這么一篇發(fā)出來(lái)吧。我數(shù)學(xué)比較菜，所以可能有些很常見(jiàn)的也放上來(lái)了。手機(jī)上打公式不是很方便，一些我覺(jué)得比較顯然的就不去寫(xiě)證明了，比較出名的定理我也就光介紹介紹，麻煩一點(diǎn)的可能稍微寫(xiě)一下。

首先是平面幾何部分。

1. 圓冪定理（相交弦定理、切割線定理、割線定理）

注意到當(dāng)點(diǎn)P在圓O內(nèi)時(shí)，冪為負(fù)值，這是由于我們采用了無(wú)向線段. 如果僅僅是證明等積式那我們都很熟悉用相似，而此處也可以向直線作垂線，使用勾股定理計(jì)算.

值得一提的是，平面內(nèi)到給定不同心兩圓的冪相等的點(diǎn)的集合為一條直線，稱為兩圓的根軸，而三圓兩兩之間的三條根軸一定平行、重合和共點(diǎn)，此定理稱為根心定理（也稱蒙日定理），所共的點(diǎn)為三圓根心.

2. 分角線定理

這個(gè)初中課內(nèi)一般不常用，常用的是當(dāng)AD為△ABC的角平分線（或外角平分線時(shí)），有AB/AC?=?BD/BC. 對(duì)于此圖中求AD長(zhǎng)也有斯圖爾特定理，可自行搜索，在這里不再贅述. 但在AD為角平分線時(shí)，有AD = √(AB·AC - BD·BC). 我們這今年中考數(shù)學(xué)大題壓軸就特別創(chuàng)新地考了這個(gè)角平分線長(zhǎng)的證明，屬實(shí)是有點(diǎn)水.

3. 阿波羅尼斯圓（阿氏圓）

這個(gè)求最值經(jīng)常用，在這里簡(jiǎn)單說(shuō)說(shuō).

實(shí)際應(yīng)用大概就是求PA+k·PB的最小值或PA-k·PB的最大值了，下面放幾道例題.

下面是一道稍難一些的.

上面這些都是只拿出了核心的部分，剝離了一些沒(méi)有用處的線段。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)還需要根據(jù)具體情況找圓和線段。

4. 費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題

這個(gè)問(wèn)題也是比較著名的了，資料比較多這里不再多說(shuō)什么.

比較難一些的是加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn). 如果僅有一條線段帶系數(shù)，那可以直接改變?nèi)切涡D(zhuǎn)角度，比如上圖若求TA+TB+√2TC，可將△ATC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△A'T'C，可知TT'=√2TC. 若系數(shù)為√3可旋轉(zhuǎn)120°，其他系數(shù)類似. 若系數(shù)有三個(gè)，則可以先提出一個(gè)系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)系數(shù)，再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和位似求解. 例如上圖中若求3TA+4TB+5TC，可先轉(zhuǎn)化為求4(3/4TA+TB+5/4TC)，然后將△ATC繞C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，然后以C為位似中心，3/4為位似比縮小至△A'T'C，則T'A'=3/4TA, TT'=5/4TC，可以在此基礎(chǔ)上求解原題.

5. 胡不歸問(wèn)題

這個(gè)也是求解帶系數(shù)線段最值的，不過(guò)相比阿氏圓，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是直線，并且系數(shù)k一定小于1. 在解題時(shí)注意在直線的異側(cè)構(gòu)造一個(gè)角，使得其正弦等于k即可，資料比較多我也不多說(shuō)什么.

6. 瓜豆原理

這個(gè)我還是想說(shuō)一說(shuō)的. 感覺(jué)多數(shù)老師都只會(huì)取特殊點(diǎn)和一般情況判斷軌跡，但沒(méi)有意識(shí)到這個(gè)的本質(zhì). 事實(shí)上，主動(dòng)點(diǎn)軌跡到從動(dòng)點(diǎn)軌跡的變換，與主動(dòng)點(diǎn)到從動(dòng)點(diǎn)的變換是完全一致的. 例如主動(dòng)點(diǎn)為P，將P繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，并以2為位似比放大得到Q，那么P的軌跡整體繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，并以2為位似比放大就會(huì)得到Q的軌跡. 這個(gè)命題在將P, Q的軌跡視作集合，將這樣一個(gè)變換視作一一映射的視角下是顯然的.

但是僅僅依靠上面這樣找軌跡并不是多么好用. 一般來(lái)說(shuō)，找特殊點(diǎn)是比較方便快捷的，直接將比較好刻畫(huà)的位置進(jìn)行變換，得到的必然在從動(dòng)點(diǎn)軌跡上. 對(duì)于軌跡為圓的情況，圓心到圓心的變換與主動(dòng)點(diǎn)到從動(dòng)點(diǎn)的變換也是一致的，并且兩圓半徑比也等于位似比. 變換前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)也會(huì)滿足類似的性質(zhì). 比如當(dāng)軌跡為直線時(shí)，旋轉(zhuǎn)位似中心O在一條軌跡上的射影A（過(guò)該點(diǎn)作該直線垂線的垂足），在變換后會(huì)得到O在另一條軌跡上的射影A'.?也就是說(shuō)，先過(guò)O向主動(dòng)點(diǎn)軌跡作垂線段OA，然后旋轉(zhuǎn)位似之后得到OA'，那么過(guò)A'作OA'的垂線就是從動(dòng)點(diǎn)軌跡，而且兩直線夾角等于旋轉(zhuǎn)角（這個(gè)有時(shí)候比較好用）.?這樣作垂線段的方式在一些場(chǎng)合也會(huì)更加便利. 如果是坐標(biāo)系的題，在走投無(wú)路的時(shí)候也可以求解析式. 最后，還需要注意主動(dòng)點(diǎn)的范圍，如果不是整條直線而是一部分線段，那么從動(dòng)點(diǎn)軌跡也要當(dāng)心.

7. 三角函數(shù)相關(guān)

比較推薦提前記住一些三角函數(shù)的公式，尤其是和差角、二倍角、半角這些在初中比較常用，這樣很多結(jié)論就是比較顯然的了. 比如下面的”12345”模型，當(dāng)tanα=1/2, tanβ=1/3時(shí)，α+β=45°，且有tan2α=4/3, tan2β=3/4,?tan(α+45°)=3, tan(β+45°)=2. 除了這些以外，余弦定理也一定要記住，在一些選填比較快，比如我們今年中考的填空壓軸就能秒（雖然不用余弦定理也很簡(jiǎn)單）. 正弦定理倒是用處不算很大，畢竟初中你也用不到導(dǎo)正弦比之類的用三角法做證明題.

8. 四點(diǎn)共圓相關(guān)

這是一個(gè)好用的技巧，在導(dǎo)角或者線段比是很有用的.四點(diǎn)共圓的判定方法很多，由圓的定義（到定點(diǎn)的距離相等）；一條定線段在同側(cè)張角相等，異側(cè)互補(bǔ)（即定弦張角，尤其注意當(dāng)角為直角時(shí)，線段中點(diǎn)即圓心）；上文提到的圓冪定理；托勒密定理的逆定理；等等. 知道四點(diǎn)共圓之后也可以直接用圓周角定理導(dǎo)角，或者用圓冪定理導(dǎo)線段比，或者托勒密定理. 有時(shí)候我們會(huì)做到這樣的題：在等邊三角形ABC外接圓P的弧BC上取一點(diǎn)P，則PA=PB+PC. 我們一般會(huì)用旋轉(zhuǎn)來(lái)運(yùn)用全等解決，其實(shí)設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為a后，對(duì)圓內(nèi)接四邊形ABPC用托勒密定理也可以. 如果是等腰直角三角形之類的也是類似的道理.

9. 有關(guān)比例線段的定理

塞瓦定理和梅涅勞斯定理算是比較常用的了，建議學(xué)習(xí)一下. 我個(gè)人感覺(jué)初中基本上只會(huì)用到邊元形式，角元形式不大用. 共邊比例定理我覺(jué)得也很好用，有時(shí)候線段比轉(zhuǎn)化成面積就方便多了.

10. 一些常用的軌跡

定弦張角可以判斷四點(diǎn)共圓，也可以判斷出點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓（由于我們使用無(wú)向角，其實(shí)是兩段對(duì)稱的?。? 在確定圓心是可通過(guò)圓心角定理，作出對(duì)應(yīng)角為頂角的等腰三角形.

平面內(nèi)到n個(gè)點(diǎn)距離的平方和為定值的點(diǎn)軌跡為一個(gè)圓，圓心的橫縱坐標(biāo)是各點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的算術(shù)平均值. 特別是當(dāng)n=2時(shí)，即平面內(nèi)到兩點(diǎn)距離平方和為定值的點(diǎn)軌跡為一個(gè)圓，圓心是兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn). 三個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)三角形重心，但我覺(jué)得應(yīng)該不會(huì)出到這么難的題，我就光做到過(guò)兩個(gè)點(diǎn)的.

11. 米勒?qǐng)A

你如果比較仔細(xì)可能發(fā)現(xiàn)我上面寫(xiě)的是”僅當(dāng)”而不是當(dāng)且僅當(dāng)”，這是由于l上存在兩個(gè)P使得△APB與l相切，且這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于O對(duì)稱. 只有AB與l所夾的較小角一側(cè)才是張角取最大值. 當(dāng)計(jì)算P的位置時(shí)，可以使用切割線定理，通過(guò)OP2=OA·OB計(jì)算.

12.?該建系就建系

當(dāng)你不會(huì)做時(shí)，可以嘗試一下這個(gè). 如果多數(shù)線都是橫平豎直，而且直接求不太容易，建系也不失為一個(gè)好方法.

不知不覺(jué)寫(xiě)了寫(xiě)就三千多字了，本來(lái)還想一篇文章全總結(jié)完的，這樣也就只能大概說(shuō)一說(shuō)幾何相關(guān)的了。有啥問(wèn)題歡迎指正，有啥補(bǔ)充大家也可以在評(píng)論區(qū)說(shuō)，有啥疑惑的也歡迎問(wèn)我。