《什么是數(shù)學》補充：有理數(shù)算術基本規(guī)律的證明
附注：
本文是對Courant先生的《什么是數(shù)學》一書中，第2章“數(shù)學中的數(shù)系”中第1節(jié)“有理數(shù)”第1小節(jié)的補充，補全了Courant先生書中除了有理數(shù)的加法結(jié)合律的證明以外的，另外四個“有理數(shù)的算術基本規(guī)律”的證明過程。想必Courant先生也有把余下的內(nèi)容當成習題留給讀者之意。
下文中諸如“乘結(jié)”、’“乘交”、“加交”之類的詞是縮寫，完整的是“乘法結(jié)合律”、“乘法交換律”、“加法交換律”……
請注意，定義1中的兩個運算一個關系是我們?nèi)藶橐?guī)定的，不是可證的，其目的是為了保持整數(shù)算術規(guī)律到有理數(shù)依舊成立。
具體證明過程，如果讀者感到閱讀困難，可以分別從兩個方向來看那一大串連等式——“從頭看到中間”和“從尾看到中間”，我在草稿紙上進行初步推導的時候，對于證明的步驟比較多的“律”，實際上也是按這樣的方式進行的；不過當自己完全證明了一遍以后，已經(jīng)了然于心，就采用了正文里更美觀、更簡潔的方式了。
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