導(dǎo)數(shù)定義：

由于 x 可以代表定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)x0，上圖說明，任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值都是一個(gè)極限值,而不是一個(gè)函數(shù)值。因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值代表斜率，斜率是需要兩個(gè)以上的點(diǎn)才能求出的。

我們知道，對(duì)于一元函數(shù)，可導(dǎo)一定連續(xù)：

但連續(xù)不一定可導(dǎo)：

這里有一點(diǎn)要注意，當(dāng)我們求某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值f'(x0)的時(shí)候，只有當(dāng)導(dǎo)函數(shù)f'(x)在x0連續(xù)的時(shí)候，才可以直接把x0代入f'(x)求得f'(x0)的值，否則就要像上圖一樣通過定義來求左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。比如f'(x)=x^2這樣的導(dǎo)函數(shù)是可以直接代入求取x0這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值f'(x0)的，這是因?yàn)閷?duì)于這個(gè)導(dǎo)數(shù)函數(shù)來說，任一點(diǎn)x0的極限值就等于它在這一點(diǎn)的函數(shù)值。

再看多元函數(shù)的情形。

討論函數(shù)

在(0,0)點(diǎn)處的連續(xù)性：

由于二元函數(shù)任意一個(gè)點(diǎn)的鄰域是一個(gè)區(qū)域，因此就存在著向這個(gè)點(diǎn)趨近時(shí)候的方向問題。正是由于方向性的存在，導(dǎo)致了上述函數(shù)在(0,0)點(diǎn)的不連續(xù)。

但這個(gè)函數(shù)在(0,0)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在。

對(duì)于上圖中函數(shù)在(0,0)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)求法問題，同樣注意：

對(duì)于非(0,0)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，可以通過導(dǎo)函數(shù)來求：

對(duì)x偏導(dǎo)數(shù)：

Z'x= [y*(x^2+y^2) -xy*2x] /(x^2+y^2)^2

=(y^3 -x^2 y)/(x^2+y^2)^2

對(duì)y偏導(dǎo)數(shù)：

Z'y=[x*(x^2+y^2) -xy*2y] /(x^2+y^2)^2

=(x^3 -xy^2)/(x^2+y^2)^2

但對(duì)于(0,0)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，則必須通過定義來求：

這是因?yàn)楹瘮?shù)在(0,0)點(diǎn)沒有函數(shù)表達(dá)式，只有一個(gè)數(shù)值，而對(duì)于一個(gè)孤立的點(diǎn)是沒辦法求導(dǎo)數(shù)的。當(dāng)采用定義方式以后，出現(xiàn)了

由于delta x不等于0，因此可以使用函數(shù)表達(dá)式

而對(duì)于極限

之所以等于0 ，是因?yàn)槲覀兇_定了分子為0，而分母delta x只是無限趨近于0，永遠(yuǎn)也不會(huì)等于0，所以結(jié)果是0，上述極限并不是什么0/0型的極限，這也是極限思想的精髓所在。

上面的敘述說明對(duì)于多元函數(shù)來說，在某一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，這一點(diǎn)的函數(shù)值不一定連續(xù)。

那如果函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，是不是偏導(dǎo)數(shù)一定存在呢？

上圖中的圓錐是一個(gè)倒立的圓錐：

當(dāng)x=0時(shí)，由YOZ平面截取的曲線 z=|y| 就是和圖1一樣，因此在(0,0)點(diǎn)是沒有導(dǎo)數(shù)的。

也可以通過求偏導(dǎo)函數(shù)的方法解決：

上面的這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)在(0,0)點(diǎn)也沒有定義，所以在(0,0)點(diǎn)沒有導(dǎo)數(shù)值，不可導(dǎo)。

同樣

也不可導(dǎo)。

上面的倒立錐面在(0,0)點(diǎn)是有定義的，但對(duì)于偏導(dǎo)函數(shù)來說，在(0,0)點(diǎn)是沒有定義的，所以不可導(dǎo)。

因此，對(duì)于多元函數(shù)來說，函數(shù)連續(xù)不一定偏導(dǎo)數(shù)存在。

簡單概括一下：

1：某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是一個(gè)極限值。

2：對(duì)于多元函數(shù)來說，某一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在與否和這一點(diǎn)的函數(shù)值是否連續(xù)無關(guān)。