【趣味數(shù)學(xué)題】拋物形求積
鄭濤（Tao Steven Zheng）著
【問題】
在《拋物線求積》中，古希臘數(shù)學(xué)家、發(fā)明家阿基米德（Archimedes， 約公元前 287 年 - 212 年）用窮竭法（method of exhaustion）推得拋物形的面積。他首先在拋物形段（parabolic segment）內(nèi)接最大面積的三角形（）。該方法繼續(xù)使用更多三角形填充剩余空間，每個階段的三角形數(shù)量增加一倍。阿基米德推得每個階段三角形的總面積是前一階段三角形面積的 1/4。如果
為最大三角形的面積（用黃色表示），
?為拋物形段的面積，這兩個面積比是多少？（求
）
【題解】
設(shè) 為大三角形的面積（
），
為拋物形的面積。設(shè)
為兩個藍色三角形的總面積，
為四個淺紅色三角形的總面積，
八個深紅色三角形的總面積。每個階段的面積是前一階段的1/4。所以
此過程無限繼續(xù)，生成無窮等比級數(shù)：
這個等差級數(shù)的第一項是 ，公比是
。使用無窮等比級數(shù)公式得出：
所以，
因此，拋物形與最大三角形的面積比例是
【歷史縱橫】
阿基米德不知道無窮等比級數(shù)公式。他用反證法得出了結(jié)果！
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