在做題時(shí)，我遇到這樣一題：

“已知∠A＝60°，△ABC為銳角三角形，BC＝2√3，用一張圓形紙片蓋住△ABC，則圓形紙片半徑最小為多少？”

顯而易見(jiàn)，圓形紙片半經(jīng)最小時(shí)，其為△ABC的外接圓，易得半徑為2。

但是，這里的“顯而易見(jiàn)”引發(fā)了我的思考，于是出現(xiàn)了下面這題。

“如圖所示，△ABC為銳角三角形，平面內(nèi)有一點(diǎn)P，連接AP、BP、CP，當(dāng)這三條線段中最長(zhǎng)的線段取最小值時(shí)，求證：點(diǎn)P為△ABC的外心.”

初看可能沒(méi)有頭緒，但我們可以分情況討論：

△ABC所有邊的中垂線將此平面分為6部分，點(diǎn)P在t1（含邊界）內(nèi)時(shí)AP≥CP≥BP，其它區(qū)域依此類推，會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在t1內(nèi)時(shí)，AP最長(zhǎng)，所以只要找出AP的最小值即可，其它區(qū)域也一樣，最后會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D（△ABC的外心）上時(shí)，六種情況都取到最小值，從而完成證明。

上題中，△ABC為銳角三角形，那么如果其為鈍角三角形時(shí)，上面的結(jié)論還正確嗎？

顯而易見(jiàn)，當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的外心時(shí)，最長(zhǎng)的線段并沒(méi)有取到最小值，那么點(diǎn)P在哪呢？

我們?cè)俅问褂蒙弦活}的方法，會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P在t4和t5內(nèi)時(shí)，最小值都會(huì)取到邊BC的一半，P為邊BC的中點(diǎn)，其它的取外接圓半徑，P在點(diǎn)D上，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，BC長(zhǎng)的一半小于外接圓半徑，因此點(diǎn)P在邊BC的中點(diǎn)上，所以可以得出結(jié)論：當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)P在其鈍角對(duì)邊的中點(diǎn)上.

那么直角三角形呢？

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P不僅在其斜邊中點(diǎn)上，還在其外接圓圓心上（直角三角形的外心是它斜邊的中點(diǎn)）.

到這里，我們便將這個(gè)問(wèn)題徹底弄明白了。

那么，這期專欄就到這里，希望能對(duì)你有所幫助，我們下期再見(jiàn)。