【電路原理】分析換路后電抗元件的電壓電流變化

? ? ? ? 在《電路原理》中涉及對(duì)動(dòng)態(tài)電路的分析,其中就包含對(duì)電抗元件(電容、電感)的分析。本文在此分析8種不同的電路,借此以熟悉電抗元件之間的特性,8種不同電路的換路規(guī)律,以及對(duì)電路分析的方法及技巧。
以下為待分析的8種電路。

說(shuō)明:
1、分析電壓和電流時(shí)均采用關(guān)聯(lián)參考方向,電抗上的參考方向已標(biāo)出。
2、元件均為理想元件。
3、分析時(shí)單位采用國(guó)際SI單位制:電壓(V、伏特)、電流(A、安培)、電阻(Ω、歐姆)、電容(F、法拉)、電感(H、亨利)。
4、開(kāi)關(guān)S1、S2、S5、S6初始狀態(tài)為開(kāi)路,S3、S4、S7、S8初始狀態(tài)為閉合。
5、本次分析,激勵(lì)源均為直流。(其它激勵(lì)波形也可仿照本文分析,但復(fù)雜很多。)
分析前所需了解并掌握的:
1.0、電容兩端電壓不能突變(具有阻礙電壓突變性質(zhì)),而電流可以。
1.1、通過(guò)電容的電流為i=C*du/dt,u為電容兩端電壓、C為電容容量。
2.0、通過(guò)電感電流不能突變(具有阻礙電流突變性質(zhì)),而電壓可以。
2.1、電感兩端的電壓為u=L*di/dt,i為通過(guò)電感的電流,L為電感自感系數(shù)。
3.0、電阻兩端電壓和通過(guò)電流關(guān)系為u=i*R,R為電阻阻值。(歐姆定律)
4.0、開(kāi)關(guān)開(kāi)路(斷路)→強(qiáng)制電流為0,兩端電壓可為任意值。(R=∞,G=0)
5.0、開(kāi)關(guān)閉合(短路)→強(qiáng)制電壓為0,通過(guò)的電流為任意值。(R=0,G=∞)
6.0、理想電壓源,強(qiáng)制兩端電壓為us。
6.1、理想電壓源通過(guò)的電流為任意值,由外電路決定。
6.2、理想電壓源內(nèi)阻R=0。
6.3、理想電壓源不可短路。
7.0、理想電流源,強(qiáng)制通過(guò)電流為is。
7.1、理想電流源兩端的電壓為任意值,由外電路決定。
7.2、理想電流源內(nèi)阻R=∞。
7.3、理想電流源不可開(kāi)路。
8.0、基本的電路分析知識(shí)。
9.0、微積分基礎(chǔ)知識(shí)。
10.0、對(duì)于以下一階線性非齊次微分方程,其通解為:[1]


電路分析:
求開(kāi)關(guān) 開(kāi)/閉 后,電抗元件兩端電壓和電流的變化(關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式)。
【I】——電壓源,電容電阻,串聯(lián)。

開(kāi)關(guān)閉合前:
uc=U0;(U0為電容初始電壓)
ic=0;
開(kāi)關(guān)閉合后:
由KVL得:uR+uc-Us=0;(Us為電壓源電壓)
→R*i+uc=Us;
→R*C*duc/dt+uc=Us;

函數(shù)圖像:

通過(guò)函數(shù)圖像可以看出以下規(guī)律:
1.0、電容電壓以負(fù)指數(shù)速度趨向Us。
1.1、電容電壓是連續(xù)的。
1.2、經(jīng)過(guò)3*RC時(shí)間,電壓過(guò)渡95%;經(jīng)過(guò)5*RC時(shí)間,電壓過(guò)渡99%;經(jīng)過(guò)7*RC時(shí)間,電壓過(guò)渡99.9%。(函數(shù)圖中RC=2)
1.3、經(jīng)過(guò)5*RC后基本可認(rèn)為電路完成過(guò)渡過(guò)程。
2.0、電容電流以負(fù)指數(shù)速度衰減至0。
2.1、在換路瞬間,電流跳變至最大值,電容可近似看做短路。
?
公式中各個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)的影響:
1.0、U0決定電壓曲線的起始位置。
1.1、U0影響電流曲線的起始位置(電流峰值)。(ic|t=0與Us差值呈正比)
2.0、Us決定電壓曲線趨向位置。
2.1、Us影響電流曲線的起始位置(電流峰值)。(ic|t=0與U0差值呈正比)
3.0、R影響電壓曲線趨向Us的速度(影響時(shí)間常數(shù))。R越大,uc趨向Us越慢。
3.1、R影響電流曲線趨向0的速度(影響時(shí)間常數(shù))。R越大,ic趨向0越慢。
3.2、R影響電流曲線初始位置(電流峰值)。(ic|t=0與1/R呈正比,R越大ic|t=0越小)
4.0、C影響電壓曲線趨向Us的速度(影響時(shí)間常數(shù))。C越大,uc趨向Us越慢。
4.1、C影響電流曲線趨向0的速度(影響時(shí)間常數(shù))。C越大,ic趨向0越慢。
達(dá)到穩(wěn)態(tài):
uc=Us;
ic=0;
開(kāi)關(guān)斷開(kāi):
uc=Us;
ic=0;
【II】——電壓源,電容電阻,并聯(lián)。

開(kāi)關(guān)閉合前:
uc=U0=0;
ic=0;
開(kāi)關(guān)閉合后:
? ? ? ? 由于電阻R2和電壓源并聯(lián),所以R2無(wú)法改變電壓源的電壓→不會(huì)影響電壓源對(duì)電容的作用,可以忽略。因?yàn)殡妷涸磸?qiáng)制兩端電壓為Us,電容具有阻礙電壓突變性質(zhì),即電壓為U0,若Us≠U0,則電路無(wú)法分析。
? ? ? ? 若要使分析繼續(xù),必須在電容C2上串聯(lián)一個(gè)電阻Rc(相當(dāng)于電容內(nèi)阻,圖未畫(huà)出),并令Rc→0。模型即轉(zhuǎn)化為【I】型。利用【I】推出的公式,代入計(jì)算得:
當(dāng)t=0(合上瞬間)
uc=U0=0,ic=∞;
經(jīng)過(guò)極短的過(guò)渡時(shí)間后(<7*Rc*C,因?yàn)镽c→0,可認(rèn)為過(guò)渡時(shí)間→0):
uc=Us,ic=0;
函數(shù)圖像:

現(xiàn)實(shí)中的電路:
? ? ? ? 因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)元件不是理想元件,會(huì)有各種寄生參數(shù)。在開(kāi)關(guān)閉合時(shí),導(dǎo)線電阻等會(huì)限制電流峰值,寄生電感也會(huì)在一定程度限制電流增速,所以ic并不會(huì)到∞A。對(duì)于低壓小電容情況,電流還未升到很高時(shí)就已經(jīng)完成過(guò)渡過(guò)程。對(duì)于高壓大電容情況,電路中會(huì)瞬間通過(guò)非常大的沖擊電流,有可能損壞器件。在電路設(shè)計(jì)中,這種情況是要避免的。
達(dá)到穩(wěn)態(tài):
uc=Us;
ic=0;
開(kāi)關(guān)斷開(kāi):
此時(shí)【II】模型可以近似為【I】型,電容初始電壓U0=Us,向電壓為0的電壓源供電,R為R2。

函數(shù)圖像:

【III】——電流源,電容電阻,串聯(lián)

開(kāi)關(guān)斷開(kāi)前:
uc=U0=0;
ic=0;
開(kāi)關(guān)斷開(kāi)后:
? ? ? ? 由于電阻R3和電流源和電容串聯(lián),所以R3無(wú)法改變通過(guò)電容的電流,可以忽略??芍猧c被電流源強(qiáng)制為Is。易知電容電壓

函數(shù)圖像:

通過(guò)函數(shù)圖像可看出以下規(guī)律:
1.0、電容電壓是線性變化的。
1.1、電容電壓沒(méi)有上限,會(huì)一直增加。
2.0、通過(guò)電容的電流一直是恒定值。
?
公式中各個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)的影響:
1.0、Is決定電流曲線的值。
1.1、Is影響電壓曲線的斜率(上升速率)。(斜率與Is成正比,Is越大斜率越大)
2.0、C影響電壓曲線的斜率(上升速率)。(斜率與1/C成正比,C越大斜率越?。?/p>
? ? ? ? 在電路設(shè)計(jì)中,可以利用電流源給電容充電來(lái)獲得線性變化的電壓。如果電路沒(méi)有改變,理論上電壓會(huì)一直上升到∞,但現(xiàn)實(shí)往往有很多因素限制電壓,比如電流源最大輸出電壓(非理想電流源)、電容耐壓、空氣(擊穿)、開(kāi)關(guān)、電路換路等。
達(dá)到穩(wěn)態(tài):
!沒(méi)有穩(wěn)態(tài)!
開(kāi)關(guān)閉合:
? ? ? ? 閉合后電路與【II】模型開(kāi)關(guān)斷開(kāi)后相同,可直接利用之前推出的公式。電容初始電壓為U0(具體數(shù)值取決之前充的多少),Us=0。

函數(shù)圖像:

注:在t=0時(shí)換路。
?
【IV】——電流源,電容電阻,并聯(lián)

開(kāi)關(guān)斷路前:
uc=U0=0;
ic=0;
開(kāi)關(guān)斷路后:
由KCL得:ic+iR-Is=0;
→C*duc/dt+uc/R=Is;

函數(shù)圖像:

通過(guò)函數(shù)圖像可看出:
圖像特性和【I】型幾乎完全相同,具體可參考【I】型。
達(dá)到穩(wěn)態(tài):
uc=Is*R;
ic=0;
開(kāi)關(guān)閉合:
? ? ? ? 因?yàn)殡娙萦凶璧K兩端電壓突變特性,而開(kāi)關(guān)閉合短路了電容,即開(kāi)關(guān)強(qiáng)制電容兩端電壓為0。此時(shí)情況參考【II】型、開(kāi)關(guān)閉合。此時(shí)將會(huì)有極大的沖擊電流通過(guò)開(kāi)關(guān)。
當(dāng)t=0時(shí)
uc=U0=Is*R,ic=∞;
經(jīng)過(guò)極短的過(guò)渡時(shí)間后:
uc=Us,ic=0;
函數(shù)圖像:

現(xiàn)實(shí)中的電路:
? ? ? ? 和之前一樣解釋,會(huì)有很多因素限制電流不會(huì)到∞A。然而巨大的沖擊電流對(duì)電路是不利的,盡量需要避免。一般情況下,開(kāi)關(guān)會(huì)承受大部分的,由電容釋放出來(lái)的功率。因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)開(kāi)關(guān)不是理想開(kāi)關(guān),換路過(guò)程需要時(shí)間,此時(shí)電阻最大就在開(kāi)關(guān),會(huì)導(dǎo)致開(kāi)關(guān)觸點(diǎn)燒蝕等等。
【V】——電壓源,電感電阻,串聯(lián)

開(kāi)關(guān)閉合前:
uL=0;
iL=I0=0;
開(kāi)關(guān)閉合后:
由KVL得:uL+uR-Us=0;
→L*diL/dt+R*iL=Us;
→diL/dt+R/L*iL=Us/L;

函數(shù)圖像:

通過(guò)函數(shù)圖像可看出:
1.0、電感電壓呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)速度衰減到0。
1.1、換路瞬間,電感電壓發(fā)生跳變?yōu)樽畲笾怠?/p>
2.0、電感電流呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)速度趨向于Us/R。
2.1、電感電流連續(xù)。
2.2、經(jīng)過(guò)3*L/R時(shí)間,電流過(guò)渡95%;經(jīng)過(guò)5*L/R時(shí)間,電流過(guò)渡99%;經(jīng)過(guò)7*L/R時(shí)間,電流過(guò)渡99.9%。(函數(shù)圖中L/R=1)
2.3、經(jīng)過(guò)5*L/R后基本可認(rèn)為電路完成過(guò)渡過(guò)程。
達(dá)到穩(wěn)態(tài):
uL=0;
iL=Us/R;
開(kāi)關(guān)斷開(kāi):
? ? ? ? 因?yàn)殡姼芯哂凶璧K電流突變的特性(維持電流=i0=Us/R),而開(kāi)關(guān)斷開(kāi)即強(qiáng)制電流為0。兩者相矛盾,無(wú)法分析。
? ? ? ? 若要分析繼續(xù),可以把開(kāi)關(guān)想象成一個(gè)電阻,其阻值Rsw→∞Ω(符合斷路性質(zhì))。列寫(xiě)KVL,得出式子,并令Rsw→∞,即得
當(dāng)t=0時(shí)(開(kāi)關(guān)斷開(kāi)瞬間)
uL=∞;
iL=Us/R;
經(jīng)過(guò)極短的過(guò)渡時(shí)間后
uL=0;
iL=0;
函數(shù)圖像:

現(xiàn)實(shí)中的電路:
? ? ? ? 因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)中每個(gè)元件/物體/環(huán)境只有一定的耐壓,過(guò)高的電壓即刻可以擊穿元件/物體/環(huán)境。比如空氣:大約10kV高壓能擊穿1cm空氣。所以電壓并不會(huì)達(dá)到∞V。一般情況下這種擊穿會(huì)發(fā)生在開(kāi)關(guān)上。機(jī)械開(kāi)關(guān)即擊穿空氣,半導(dǎo)體開(kāi)關(guān)即擊穿半導(dǎo)體導(dǎo)致開(kāi)關(guān)報(bào)廢。
? ? ? ? 這種電路在現(xiàn)實(shí)很常見(jiàn)。為了避免高壓帶來(lái)的危害,往往有很多的輔助電路去吸收高壓。也有利用這種高壓的,比如boost升壓器,或者一個(gè)簡(jiǎn)易的電人裝置hhhhhh。
【VI】——電壓源,電感電阻,并聯(lián)

開(kāi)關(guān)閉合前:
uL=0;
iL=I0=0;
開(kāi)關(guān)閉合后:
? ? ? ? 由于R6與電壓源并聯(lián),所以R6無(wú)法影響電感L兩端的電壓,分析時(shí)可忽略。
可知uL被電壓源強(qiáng)制為Us。可得電感電流

函數(shù)圖像:

通過(guò)函數(shù)圖像可看出以下規(guī)律:
1.0、電感電壓一直是恒定值。
2.0、電感電流是線性變化的。
2.1、電感電流沒(méi)有上限,會(huì)一直增加。
?
公式中各個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)的影響:
1.0、Us決定電壓曲線的值。
1.1、Us影響電流曲線的斜率(上升速率)。(斜率與Us成正比,Us越大斜率越大)
2.0、L影響電流曲線的斜率(上升速率)。(斜率與1/L成正比,L越大斜率越?。?/p>
?
? ? ? ? 在現(xiàn)實(shí)電路中,因?yàn)殡姼凶陨泶嬖陔娮瑁瑫?huì)限制其最大電流(與【V】型等同),電流并不會(huì)升到∞。還有一種情況是在達(dá)到最大電流前發(fā)生磁通飽和,此時(shí)電感將開(kāi)始喪失電感特性,電流將不會(huì)再線性上升,而是突然爆升,最終受到電阻限制。一般會(huì)燒毀一些東西。
達(dá)到穩(wěn)態(tài):
!沒(méi)有穩(wěn)態(tài)!
開(kāi)關(guān)斷開(kāi):
? ? ? ? 此時(shí)I0為斷開(kāi)前的電流大小,Us為0。借助推導(dǎo)出的式子(見(jiàn)【VIII】型)得

函數(shù)圖像:

注:在t=0時(shí)換路
?
【VII】——電流源,電感電阻,串聯(lián)

開(kāi)關(guān)斷開(kāi)前:
uL=0;
iL=I0=0;
開(kāi)關(guān)斷開(kāi)后:
? ? ? ? 由于電阻R7與電流源串聯(lián),電阻R7無(wú)法改變通過(guò)電感的電流,分析時(shí)可以忽略。因?yàn)殡娏髟磸?qiáng)制流過(guò)的電流為Is,而電感有阻礙電流突變的特性(維持電流為I0)。若Is≠I0,電路無(wú)法分析。
? ? ? ? 若要使分析繼續(xù),需要假設(shè)開(kāi)關(guān)S7為一個(gè)電阻,其阻值Rsw→∞Ω(符合開(kāi)關(guān)斷開(kāi)性質(zhì))。電路可等效為【VIII】型(下文),代入其公式,可得。
當(dāng)t=0(合上瞬間)
uL=∞,iL=I0=0;
經(jīng)過(guò)極短的過(guò)渡時(shí)間后:
uL=0,iL=Is;
函數(shù)圖像:

現(xiàn)實(shí)中電路:目前我還沒(méi)有了解到這種設(shè)計(jì),或者我孤陋寡聞了?
達(dá)到穩(wěn)態(tài):
uL=0;
iL=Is;
開(kāi)關(guān)閉合:
閉合后電路可與【VI】開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)相似,I0=Is,Is=0,得

函數(shù)圖像:

【VIII】——電流源,電感電阻,并聯(lián)

開(kāi)關(guān)斷開(kāi)前:
uL=0;
iL=I0;
開(kāi)關(guān)斷開(kāi)后:
由KCL得:iR+iL-Is=0;
→uL/R+iL=Is;
→L/R*diL/dt+iL=Is

函數(shù)曲線:

通過(guò)函數(shù)圖像可看出以下規(guī)律:
1.0、電感電流以負(fù)指數(shù)速度趨向Is。
1.1、電感電流是連續(xù)的。
1.2、經(jīng)過(guò)3*L/R時(shí)間,電流過(guò)渡95%;經(jīng)過(guò)5*L/R時(shí)間,電流過(guò)渡99%;經(jīng)過(guò)7*L/R時(shí)間,電流過(guò)渡99.9%。(函數(shù)圖中L/R=2)
1.3、經(jīng)過(guò)5*L/R后基本可認(rèn)為電路完成過(guò)渡過(guò)程。
2.0、電感電壓以負(fù)指數(shù)速度衰減至0。
2.1、在換路瞬間,電感電壓跳變至最大值,電感可近似看做斷路。
?
公式中各個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)的影響:
1.0、I0影響電壓曲線的起始位置(電壓峰值)。(uL|t=0與Is差值呈正比)
1.1、I0決定電流曲線的起始位置。
2.0、Is影響電壓曲線的起始位置(電壓峰值)。(uL|t=0與I0差值呈正比)
2.1、Is決定電流曲線趨向位置。
3.0、R影響電壓曲線趨向0的速度(影響時(shí)間常數(shù))。R越大,uL趨向0越快。
3.1、R影響電壓曲線初始位置(電壓峰值)。(uL|t=0與R呈正比,R越大uL|t=0越大)
3.2、R影響電流曲線趨向Is的速度(影響時(shí)間常數(shù))。R越大,iL趨向Is越快。
4.0、L影響電壓曲線趨向0的速度(影響時(shí)間常數(shù))。L越大,uL趨向0越慢。
4.1、L影響電流曲線趨向Is的速度(影響時(shí)間常數(shù))。L越大,iL趨向Is越慢。
達(dá)到穩(wěn)態(tài):
uL=0;
iL=Is;
開(kāi)關(guān)閉合:
uL=0;
iL=Is;

總結(jié):
至此8個(gè)電路分析完成,此處簡(jiǎn)要總結(jié)8個(gè)電路在開(kāi)關(guān)換路前后,電抗元件的電壓電流變化:

【I】
閉合:uc從U0負(fù)指數(shù)趨向Us;
? ? ? ? ? ?ic從峰值負(fù)指數(shù)趨向0;
斷開(kāi):uc不變;
?? ? ? ? ?ic=0;
【II】
閉合:uc從0驟升到Us;
?? ? ? ? ?ic瞬時(shí)沖擊電流;
斷開(kāi):uc從Us負(fù)指數(shù)趨向0;
?? ? ? ? ?ic從峰值負(fù)指數(shù)趨向0;
【III】
斷開(kāi):uc從0線性增加;
?? ? ? ? ?ic=Is;
閉合:uc從峰值負(fù)指數(shù)趨向0;
?? ? ? ? ?ic從峰值負(fù)指數(shù)趨向0;
【IV】
斷開(kāi):uc從0負(fù)指數(shù)趨向Is*R;
?? ? ? ? ?ic從Is負(fù)指數(shù)趨向0;
閉合:uc從IsR驟降到0;
?? ? ? ? ?ic瞬時(shí)沖擊電流;

【V】
閉合:uL從Us負(fù)指數(shù)趨向0;
iL從0負(fù)指數(shù)趨向Us/R;
斷開(kāi):uL瞬時(shí)高壓尖峰;
iL從Us/R驟降到0;
【VI】
閉合:uL=Us;
iL=從0線性增加;
斷開(kāi):uL從峰值負(fù)指數(shù)趨向0;
iL從峰值負(fù)指數(shù)趨向0;
【VII】
斷開(kāi):uL瞬時(shí)高壓尖峰;
iL從0驟升到Is;
閉合:uL從峰值負(fù)指數(shù)趨向0;
iL從Is負(fù)指數(shù)趨向0;
【VIII】
斷開(kāi):uL從峰值負(fù)指數(shù)趨向0;
iL從I0負(fù)指數(shù)趨向Is;
閉合:uL=0;
iL不變;
?
經(jīng)過(guò)比較之后也可以發(fā)現(xiàn):
【I】和【VIII】對(duì)偶,【II】和【VII】對(duì)偶,【III】和【VI】對(duì)偶,【IV】和【V】對(duì)偶。相互對(duì)偶的電路具有相似的響應(yīng)和相似的方程表達(dá)式。
?

本文到此完成對(duì)8個(gè)電路的分析,感謝能閱讀完全文的觀眾,若本文有誤之處,歡迎指正。
——by HD-nuke8800
附錄:
[1]:摘自 同濟(jì)版《高等數(shù)學(xué)》第七版 上冊(cè),第七章 第四節(jié) 一階線性微分方程。
