引入

對(duì)于系統(tǒng)

，假設(shè)函數(shù)f對(duì)于狀態(tài)向量不連續(xù)。此時(shí)經(jīng)典的微分方程理論現(xiàn)在不適用，因?yàn)長ipschitz assumptions?通常被用來保證唯一解的存在。對(duì)于右邊不連續(xù)的微分方程，F(xiàn)ilippov提出的解的概念將解構(gòu)造為從不同方向接近不連續(xù)點(diǎn)得到的解的“平均值”。

介紹

????令S為x的狀態(tài)空間的一個(gè)曲線（也可能是曲面，下面統(tǒng)稱曲線）定義如下：

????，為在x0處的從相反方向接近S曲線的切線，可以將上述的fig1中非連續(xù)微分方程改寫為如下形式：

? ??????Fillipov的構(gòu)型如下所示：

????通過選取合適的α，即可得到該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值

????從上面的討論可以清楚地看出，F(xiàn)ilippov solution是兩個(gè)“速度”向量在點(diǎn)x0處的平均解。此時(shí)x(t)的微分方程的右邊被定義為凸集：

????結(jié)合S曲面的定義，令，，

????此時(shí)，結(jié)合S的定義，為了維持，則要求

????得到α

????因此可以得到非連續(xù)微分方程的確切解：

意義

????很明顯，1、可以描述非光滑的系統(tǒng)行為；2、在滑模控制中，常引入非連續(xù)的控制，這會(huì)使得原狀態(tài)方程變得非連續(xù)，結(jié)合滑模的sliding surface，這個(gè)問題的分析可以被解決。暫且這么多，歡迎各位討論和指導(dǎo)。