感覺up講得有點散（自己感覺），我整理一下吧（我的應(yīng)該更爛

0.前言

問題由掛谷宗一 (かけやそういちSoichi Kakeya) 提出：一個線段，旋轉(zhuǎn)180°，他劃過的面積最小是多少？

定義：一個線段，旋轉(zhuǎn)180°，他劃過的面積被稱為 掛谷集。在掛谷集內(nèi)任取兩個點，連一條線段，線段始終在集合里面的掛谷集，被稱為 凸掛谷集（凸集）

凸集有個很好用的性質(zhì)：過凸集上任一點，我們總能做出一條直線，使得凸集在直線的同一側(cè)。

1.最小的凸掛谷集

是正三角形，來證明吧

我們設(shè)那條旋轉(zhuǎn)的線段的長度為1

我們首先要隨便畫出一個凸的輪廓作為凸集，然后把他的內(nèi)切圓搞出來。凸集的內(nèi)切圓可以分為兩種：有2個切點的、有3個切點的。

1.1.有2個切點的不是最小凸集

如果這2個切點是內(nèi)切圓的直徑的端點，那么這個內(nèi)切圓是最大的。

線段在里面旋轉(zhuǎn)，肯定要經(jīng)過圓的直徑，那么圓的直徑肯定≥1。

比較圓和萊洛三角形（萊洛三角形有3個切點），發(fā)現(xiàn)圓的面積更大，那么圓肯定不是最小的凸集了，所以有2個切點的不是最小凸集。

1.2.有3個切點的凸集

如果這3個切點不在同一個半圓上，那么這個內(nèi)切圓是最大的。

過3個切點作切線，能得到有內(nèi)切圓的三角形，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r

線段在凸集中旋轉(zhuǎn)，肯定要轉(zhuǎn)到和BC垂直的方向，因為線段完全在三角形內(nèi)，所以BC上的高≥1。

作AH⊥BC，設(shè)△ABC的面積為S。

S = 0.5×BC·AH

變形得BC = 2S÷AH

∵AH≥1

∴BC≤2S

同理得：AB≤2S AC≤2S

我們設(shè)圓的3個切點分別為D,E,F，我們來算△ABC的面積。

S△ABC=S△BOC+S△COA+S△AOB

=0.5r×(BC+CA+AB)

把之前的BC≤2S AB≤2S AC≤2S代入

我們可以得到：r ≥ 1/3

連接OD, OE, OF，分別反向延長并分別交掛谷集邊緣于X, Y, Z

過X, Y, Z分別作切線，圍成的區(qū)域在凸集內(nèi)，這個區(qū)域的面積，是隨半徑的增加而增加的。

當半徑取最小值 1/3 時，他正好是正三角形。

也就是說，正三角形的面積，是所有凸集中最小的。

證明完畢。

彈幕里有人質(zhì)疑這個“也就是說”，但別的筆記里也解釋過了，那我也懶得詳細講了。

第二章和第三章懶得寫了，之后有機會再寫，你們湊合看吧（