散文網(wǎng) » 科技 »學(xué)習(xí) » 【趣味數(shù)學(xué)題】Γ-ζ 乘積積分函數(shù)

【趣味數(shù)學(xué)題】Γ-ζ 乘積積分函數(shù)

2022-03-20 04:42 作者:AoiSTZ23 0人讀過 | 我要投稿

鄭濤（Tao Steven Zheng）著

【問題】

Γ-ζ乘積積分函數(shù)（Gamma-Zeta product integral）是高等物理學(xué)中出現(xiàn)的一個重要結(jié)果。這個問題解釋如何從Γ函數(shù)（Gamma function）和ζ函數(shù)（Zeta function）[1]得到一個更簡單的積分。

先用 $s%20%3D%20nu%20$ 這個變換開始，證明

$%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-s%20%7D%20%7D%20%7B%20s%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7Dds%5Cleft(%20%5Csum%20_%7B%20n%3D1%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20n%20%7D%5E%7B%20-x%20%7D%20%7D%20%20%5Cright)$

等于

$%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cfrac%20%7B%20%7B%20u%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D-1%20%7D%20du%20%7D%20$

[1] ζ函數(shù)（Zeta function）又稱黎曼ζ函數(shù)（Riemann Zeta function）。

【題解】

由于Γ函數(shù)（Gamma function）是一個實數(shù)，我們可以將乘積寫成

$%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%3D%20%20%5Csum%20_%7B%20n%3D1%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-s%20%7D%20%7D%20%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bs%7D%7Bn%7D%20%5Cright)%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7Dds%20%7D$

設(shè) $s%20%3D%20nu$ ，所以 $%20ds%3Dndu$ ，那么

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%26%3D%20%20%5Csum%20_%7B%20n%3D1%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-nu%20%7D%20%7D%20%7Bu%7D%5E%7B%20x-1%20%7Ddu%20%7D%20%5C%5C%0A%20%26%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20(%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-u%7D%20%2B%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-2u%7D%20%2B%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-3u%7D%20%20%2B...%20)%20%7D%20%7Bu%7D%5E%7B%20x-1%20%7Ddu%20%5C%5C%0A%20%26%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20u%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-u%20%7D%20%7D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%20%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D-1%20%7D%20%20%5Cright)%20du%20%5C%5C%0A%20%26%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cfrac%20%7B%20%7B%20u%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D-1%20%7D%20%20%7D%20du%20%5C%5C%0A%5Cend%7Balign%7D$

結(jié)果

$%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cfrac%20%7B%20%7B%20u%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D-1%20%7D%20%20%7D%20du%20$

標(biāo)簽：