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視頻中

提到的定理

證明

AB

=1/2(DB+CB)-1/2(DA+CA)

CD

=1/2(BD+AD)-1/2(BC+AC)

OA-OC-OD+OB

＝OB-OC-OD+OA

即CA-BD

＝CB-AD

即(CA-BD)2

＝(CB-AD)2

即AC2+BD2-2CA·BD

＝BC2+AD2-2CB·AD

即2(CB·AD-CA·BD)

=(-BD2+BC2+AD2-AC2)

即1/2(CB·AD-CA·BD)

=1/4(AD2+BC2-AC2-BD2)

cosθ

＝|cos<AB，CD>|

＝|AB·CD|

/(|AB||CD|)

＝1/4|(DB+CB)-(DA+CA))

((BD+AD)-(BC+AC)|

/(|AB||CD|)

＝1/4|(DB+CB-DA-CA)

(BD+AD-BC-AC)|

/(|AB||CD|)

＝1/4|-BD2+DB·AD-DB·BC-DB·AC

+CB·BD+CB·AD+BC2-CB·AC

-DA·BD+AD2+DA·BC+DA·AC

-CA·BD-CA·AD+CA·BC-AC2|

/(|AB||CD|)

＝|1/4(AD2+BC2-AC2-BD2)

+1/2(CB·AD-CA·BD)|

/(|AB||CD|)

＝|1/4(AD2+BC2-AC2-BD2)

+1/4(AD2+BC2-AC2-BD2)|

/(|AB||CD|)

=|(AD2+BC2)-(AC2+BD2)|

/(2|AB||CD|)

得證

ps.

上述證明過程

有序字母表向量

視頻中題

α，β，γ∈(0,π/2]

cosβ＜cosγ＜cosα

即β＞γ＞α

詳見

CV10088620