今天開始學(xué)習(xí)另一種好用的分析工具，適用于看上去具有某種周期性的數(shù)列，關(guān)鍵是看上去，考驗(yàn)觀察力和對(duì)函數(shù)例子的積累與理解。

40部分?jǐn)?shù)列及部分極限

1.子列的定義

子列/部分?jǐn)?shù)列，即從已知數(shù)列{xn}選出一個(gè) 全新的數(shù)列，操作如下——

1. 從{xn}選出第一項(xiàng)xn1作為子列的第一項(xiàng)，n1>=1；
   

2. 從{xn1，xn1+1，……}選出xn2作為子列的第二項(xiàng)，n2>=n1；

3. 以此類推，……

4. 從{xnk，xnk+1，……}選出xn（k+1）作為子列的第k+1項(xiàng)，n（k+1）>=nk；

5. 由此構(gòu)造出{xn}的一個(gè)子列。

從這個(gè)過程可以得出以下性質(zhì)——

1. 1<=n1<=<=……<=nk<=n（k+1）；

2. k<=nk。

所以，子列的第k項(xiàng)xnk一定在原數(shù)列中排在第k項(xiàng)之后。

2.性質(zhì)一：收斂數(shù)列的子列必收斂，且極限相同——

已知：數(shù)列{xn}有極限x；

求證：該數(shù)列的任意子列{xnk}有極限x。

證明——

1. 已知數(shù)列{xn}有極限x，即對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，k>N時(shí)，|xk-x|<ε；

2. {xnk}為{xn}子列，則有nk>k；

3. 綜合1,2，對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，nk>k>N時(shí)，|xnk-x|<ε，證畢。

3.性質(zhì)二：無確定極限的數(shù)列的能選出收斂子列——

舉例說明——

1. xn=（-1）^（n+1），存在子列x2n=（-1）^（2n+1）=-1，極限為-1；

2. xn=（-1）^（n+1）n，存在子列x2n=（-1）^（2n+1）（2n）=-2n，極限為負(fù)無窮大；

3. xn=（-1/n）^（n+1），存在子列x2n=（-1）^（2n+1）[1/（2n）^（2n+1）]=-[1/（2n）^（2n+1）]，極限為0；

4. xn=0.n，xn*（10^n）=0.n，它的所有子列極限構(gòu)成一個(gè)無窮集合。

4.性質(zhì)三：無界數(shù)列恒有無窮大子列。

證明（以無上界數(shù)列舉例）——

1. 因?yàn)閿?shù)列{xn}無上界，即對(duì)于任意大數(shù)E>0，存在自然數(shù)k，使xk>E；

2. 對(duì)于任意xj，一定存在k>j，使得xk>xj：（反證法）假如存在xj，使得對(duì)任意k>j，使得xk<=xj=M2，又因?yàn)閷?duì)任意n<=j，xn<=max{x1，x2，……，xj}=M1，則數(shù)列存在上界M=max{M1，M2}，與數(shù)列無上界矛盾，得證；

3. 由1,2可知，對(duì)于任意大數(shù)E>0，存在自然數(shù)k，使xnk>xn>E，得證。
   

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