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A-0-1微元與小量（1/2）

2023-08-26 18:07 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

0.1.1 極限與微元

所謂微元法，是指物理量變化極小時(shí)，研究各變化量之間關(guān)系的一種方法。研究運(yùn)動時(shí)，可以是一小段時(shí)間/位移，研究受力時(shí)，可以是一小段物體/質(zhì)量。

高中第一次接觸微元法，是在運(yùn)動學(xué)部分，瞬時(shí)速度的定義。在數(shù)學(xué)上，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間足夠短時(shí)，某點(diǎn)附近的平均速度就嚴(yán)格等于該點(diǎn)的瞬時(shí)速度

$%E2%80%8B%0A%0Av_%7B%E7%9E%AC%7D%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20t%5Crightarrow%200%7D%5Cdfrac%7B%5CDelta%20x%7D%7B%5CDelta%20t%7D$

在運(yùn)動學(xué)中，一旦我們?nèi)×艘粋€(gè)極短的過程，就可以將曲線運(yùn)動暫時(shí)看成直線運(yùn)動，將勻變速直線運(yùn)動暫時(shí)看成勻速直線運(yùn)動，將變加速運(yùn)動暫時(shí)看成勻加速運(yùn)動，原因在于無窮小量的近似。

0.1.2 無窮小量的階數(shù)

同階無窮小和等價(jià)無窮小

設(shè) $%5Calpha$ ， $%5Cbeta$ 都是趨近于0的小量，當(dāng)

$%20%5Clim%5Climits_%7B%5Calpha%2C%5Cbeta%5Crightarrow0%7D%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Cbeta%7D%3Dc(c%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B0)$

時(shí)，我們認(rèn)為 $%5Calpha$ 和 $%5Cbeta$ 差不多，稱為同階無窮小。特殊的，當(dāng) $c%3D1$ 時(shí)， $%5Calpha$ 稱為 $%5Cbeta$ 的等價(jià)無窮小。

高階無窮小和低階無窮小

當(dāng)

$%5Clim%5Climits_%7B%5Calpha%2C%5Cbeta%5Crightarrow0%7D%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Cbeta%7D%3D0$

我們稱 $%5Calpha$ 是 $%5Cbeta$ 的高階無窮小，同理，當(dāng)

$%5Clim%5Climits_%7B%5Calpha%2C%5Cbeta%5Crightarrow0%7D%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Cbeta%7D%5Crightarrow%5Cinfty$

$%5Calpha$ 稱為 $%5Cbeta$ 的低階無窮小，特殊的，當(dāng)

$%5Clim%5Climits_%7B%5Calpha%2C%5Cbeta%5Crightarrow0%7D%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Cbeta%5Ek%7D%3Dc(c%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B0)$

$%5Calpha$ 稱為 $%5Cbeta$ 的 $k$ 階無窮小。

習(xí)慣上， $%20x%5Crightarrow0$ 時(shí)， $x$ 稱為一階無窮小，同理， $x%5E2$ 稱為二階無窮小。

0.1.3 常見等價(jià)無窮小

$x%5Csim%5Csin%20x%5Csim%5Ctan%20x$ ;

簡單證明：如下圖，三者分別對應(yīng) $%5Coverset%7B%5CLARGE%7B%5Cfrown%7D%7D%7BCB%7D$ 、 $CD$ 、 $BE$ 的長度，

當(dāng) $%5Ctheta%5Crightarrow%200$ 時(shí)，三者重合相等。

$1-%5Ccos%20x%5Csim%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2$ ;

證明： $1-%5Ccos%20x%3D1-(1-2%5Csin%5E2%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D)%3D2%5Csin%5E2%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D%3D2(%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D)%5E2%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2$

$(1%2Bx)%5En-1%5Csim%20nx$ ;

證明：利用廣義二項(xiàng)式定理， $(1%2Bx)%5En%3D1%2BC_n%5E1x%2B%5Ccdots%3D1%2Bnx$

$e%5Ex-1%5Csim%20x$ ;

證明：利用定義 $(1%2Bx)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%3De%20$ 可得。

標(biāo)簽：高中物理競賽