【菲赫金哥爾茨微積分學(xué)教程精讀筆記Ep63】Ep62的中最后一小步錯(cuò)誤的修正與補(bǔ)充
Ep62介紹了如何由“閉區(qū)間套定理”反推“單調(diào)有界原理”的證明，即——
已知：
閉區(qū)間套的無(wú)限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；
lim（bn-an）=0，n趨向于無(wú)窮大時(shí)——
則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點(diǎn)/一個(gè)數(shù)。
求證：單增有上界（單減有下界）數(shù)列必有極限。
分析：首先明確已知條件，“閉區(qū)間套定理”是要用到的工具，一個(gè)單增有上界的數(shù)列是對(duì)象，證明的目的是找到一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)恰好是這個(gè)數(shù)列的極限，用構(gòu)造“閉區(qū)間套無(wú)限序列”的方法。
這個(gè)證明分了三部分，算是利用“閉區(qū)間套定理”去作為工具去證明題目的一個(gè)套路了，反正這些做數(shù)學(xué)題時(shí)候比較成規(guī)律的內(nèi)容可以直接背下來(lái)，考試的時(shí)候即使完全不會(huì)，如果老師手軟了，起碼還能得點(diǎn)步驟分對(duì)吧？！——
Step1：構(gòu)造閉區(qū)間套——找出一個(gè)數(shù)（要點(diǎn)：一個(gè)閉區(qū)間套等價(jià)于一個(gè)數(shù)，這是啥？一一對(duì)應(yīng)啊，用一點(diǎn)代數(shù)的知識(shí)，就是）
已知數(shù)列{xn}，對(duì)于任意n，滿足xn<xn+1，且存在實(shí)數(shù)b，使得xn<b——單增有界；
我們?nèi)≌麛?shù)k，令a1=xk=a，b1=b，得到第一個(gè)閉區(qū)間[a1，b1]；
將[a1，b1]等分成兩個(gè)閉區(qū)間，[a1，（a1+b1）/2]和[（a1+b1）/2，b1]——
如果（a1+b1）/2是{xn}的上界，那么令a2=a1，b2=（a1+b1）/2，
如果（a1+b1）/2不是{xn}的上界，那么令a2=（a1+b1）/2，b2=b1，
得到第二個(gè)閉區(qū)間[a2，b2]；
依次重復(fù)上述步驟……
將[ak，bk]等分成兩個(gè)閉區(qū)間，[ak，（ak+bk）/2]和[（ak+bk）/2，bk]——
如果（ak+bk）/2是{xn}的上界，那么令ak+1=ak，bk+1=（ak+bk）/2，
如果（ak+bk）/2不是{xn}的上界，那么令ak+1=（ak+bk）/2，bk+1=bk，
得到第k+1個(gè)閉區(qū)間[ak+1，bk+1]；
……
將上述步驟無(wú)限進(jìn)行下去，即得到一個(gè)閉區(qū)間套無(wú)限序列Im=[am，bm]，他們的擁有唯一公共點(diǎn)x。
Step2：再證明x=lim?an=lim?bn
反證法——
假如x不是{an}的極限，即，存在E>0，對(duì)任意自然數(shù)n，|an-x|>=E；
由x的構(gòu)造可知，對(duì)于任意自然數(shù)n，an<=x<=bn；
由1,2可知，存在E>0，對(duì)任意自然數(shù)n，|bn-an|>=|an-x|>=E；
又lim|bn-an|=0，即對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，|bn-an|<ε；
導(dǎo)出3,4矛盾，即x是{an}的極限；
同理，x是{bn}的極限，x=lim?an=lim bn得證。
Step3：證明x即為數(shù)列{xn}的極限，即：對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，|xn-x|<ε
由閉區(qū)間的定義，對(duì)于任意m，有am<bm，取右邊極限，令m趨向于無(wú)窮，有am<=lim bm=x；
由閉區(qū)間的構(gòu)造可知，對(duì)于任意自然數(shù)m，bm是{xn}的上界，即，對(duì)于任意m、n，xn<=bm，取右邊極限，令m趨向于無(wú)窮，有xn<=lim?bm=x；——（我們?nèi)”樗械膎值，都有xn<=lim?bm=x，所以這個(gè)不等式恒成立）；
由于數(shù)列{xn}單調(diào)遞增，所以對(duì)于任意m，存在N'，使得使得n>N'時(shí)，xn>=xN'>=am；
結(jié)合2、3，又對(duì)于任意m，存在N'，使得n>N'時(shí)，x>=xn>=xN'>=am；
又x=lim?am，即，對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N"，當(dāng)m>N"時(shí)，|?am-x|<ε，即x-ε/2<am<x+ε/2；
結(jié)合4、5，有對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N=max{N'，N"}，當(dāng)m>N，n>N時(shí)，x+ε>x>=xn>xN'>=am>x-ε，即|xn-x|<ε，即x為數(shù)列{xn}的極限，證畢。
這一步打的時(shí)候感覺(jué)就怪怪的，繞來(lái)繞去，最后發(fā)現(xiàn)還是錯(cuò)的，那些點(diǎn)贊收藏的寶寶是不是覺(jué)得sun了dog了，今天我們來(lái)聊聊老碧犯了一個(gè)怎樣的錯(cuò)誤，以及為啥會(huì)犯這個(gè)錯(cuò)誤。
這個(gè)錯(cuò)誤的癥結(jié)其實(shí)在于，這里面涉及了兩個(gè)變量，而這種表述是不能控制住雙變量的。
分析——
首先，給定了一個(gè)m值，就會(huì)存在一個(gè)N'滿足條件3；
給定了一個(gè)N'，也就對(duì)應(yīng)了一個(gè)xN'的值；
結(jié)合1、2，給定了一個(gè)m值，即給定了xN'的值；
而給出了一個(gè)ε，則可以按照一定的關(guān)系確定了一個(gè)N"，以及此時(shí)的am取值范圍；
所以以5為起點(diǎn)，給定一個(gè)ε，確定N"，得到am取值范圍，但是每一個(gè)am都對(duì)應(yīng)一個(gè)特定的N'，所以N"可以根據(jù)ε確定，而N'卻不會(huì)同時(shí)確定下來(lái)，依然是一個(gè)變量，所以一個(gè)給定的常量和一個(gè)變動(dòng)的量是無(wú)法取其中最大值的。
所以，修正這個(gè)錯(cuò)誤的核心在于如何穩(wěn)定下來(lái)N"的同時(shí)穩(wěn)定下來(lái)N'。
修正如下：
綜合4、5——
對(duì)于任意m>N"，存在N'，使得n>N'時(shí)，x>=xn>=xN'>=am；
對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N"，當(dāng)m>N"時(shí)，x-ε/2<am<x+ε/2；
綜上，對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在N'，使得n>N'時(shí)，x+ε/2>x>=xn>xN'>=am>x-ε/2，即|xn-x|<ε，即x為數(shù)列{xn}的極限，證畢。? ? ? ?
