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近日，中國科大幾何與物理研究中心創(chuàng)始主任陳秀雄教授在偏微分方程和復(fù)幾何領(lǐng)域取得重要“里程碑式結(jié)果”。他與合作者程經(jīng)睿完成的關(guān)于一類四階完全非線性橢圓方程的先驗估計和凱勒流形上有關(guān)卡拉比極值度量若干著名猜想的兩篇論文先后發(fā)表在國際著名雜志 《美國數(shù)學(xué)會雜志》(Journal of American Mathematical Society)上。論文解決了若干有關(guān)凱勒流形上常標(biāo)量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問題，包括長期未決的強(qiáng)制性猜想和測地穩(wěn)定性猜想，將對幾何和偏微分方程的研究產(chǎn)生重要的影響。同行專家評論，上述工作“屬于凱勒幾何里最重要結(jié)果中的上乘之作”“必將成為幾何和分析兩個領(lǐng)域經(jīng)典”。

美國數(shù)學(xué)家克勞德·勒布潤評價“該系列論文是復(fù)微分幾何領(lǐng)域一個非凡的、根本的、完全出乎意料的進(jìn)展。這些卓越的工作應(yīng)該會在數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域包括與復(fù)微分幾何相去甚遠(yuǎn)的領(lǐng)域產(chǎn)生影響?！狈▏茖W(xué)院院士吉恩-皮埃爾·德瑪依認(rèn)為“他們的結(jié)果看來是對當(dāng)代復(fù)微分幾何一個極其重要的貢獻(xiàn)?！泵绹茖W(xué)院院士布萊恩·勞森評價道“陳和程最近的系列論文令人驚嘆，誠為該領(lǐng)域一個實質(zhì)性的突破。他們做出的先驗估計前所未見，乃絕佳力作，并在此估計的基礎(chǔ)上，獲得了一系列重要結(jié)果?！?/p>

凱勒流形上的常標(biāo)量曲率度量的存在性是過去六十多年來幾何中的核心問題之一，它的研究吸引了幾代杰出的幾何分析學(xué)家。關(guān)于其存在性，有三個著名的猜想——穩(wěn)定性猜想、強(qiáng)制性猜想和測地穩(wěn)定性猜想。穩(wěn)定性猜想限制在凱勒-愛因斯坦度量時稱為丘成桐猜想，由丘成桐于上世紀(jì)九十年代提出，并由陳秀雄、唐納森和孫崧率先解決。強(qiáng)制性猜想和測地穩(wěn)定性猜想中的必要性，經(jīng)過最近二十多年眾多著名數(shù)學(xué)家的工作，已變得完全清晰。然而，其充分性的證明在陳-程的工作之前被認(rèn)為是遙不可及的。

常標(biāo)量曲率度量的存在性可轉(zhuǎn)化成一類四階完全非線性橢圓方程解的存在性。陳-程的工作恰恰就是在K-能量強(qiáng)制性或測地穩(wěn)定性的假設(shè)下證明這類方程解的存在。這類方程的研究極為困難，長期以來業(yè)內(nèi)專家普遍不相信會有一個令人滿意的存在性理論。在陳-程的工作前，對此類方程幾乎沒有合適的處理工具。陳-程最重要的突破是給出了這類方程的先驗估計以及成功實現(xiàn)了陳秀雄教授提出的新的連續(xù)參數(shù)的策略。菲爾茲獎得主西蒙·唐納森爵士評價“他們的工作已經(jīng)提供了眾多常標(biāo)量曲率凱勒度量的新例子，毫無疑問也將成為完全認(rèn)識這個問題的基礎(chǔ)?！?/p>

此外，陳-程的文章中還有許多其它突破性的結(jié)果。例如，他們給出了環(huán)對稱凱勒流形上 穩(wěn)定性猜想的證明，將唐納森在環(huán)對稱凱勒曲面上的經(jīng)典定理推廣到了高維。關(guān)于一般穩(wěn)定性猜想的證明，兩位作者在文章中提出了一系列深刻的問題和可能的解決方案。盡管還有諸多困難需要克服，專家們相信穩(wěn)定性猜想的完全解決已成為可能。在文章的預(yù)印本公開后的兩年里，已經(jīng)出現(xiàn)了一系列重要進(jìn)展。

陳秀雄教授近年來在偏微分方程和復(fù)幾何領(lǐng)域取得了一系列重要進(jìn)展，改變了該領(lǐng)域的面貌。除了此次完成的重要成果外，他與王兵合作證明了法諾凱勒里奇流極限的弱緊性, 繼而與孫崧和王兵合作證明了極限的唯一性，并給出了丘成桐猜想的一個基于凱勒里奇流的新證明。值得一提的是，陳教授這次的合作者程經(jīng)睿在完成這項工作時博士尚未畢業(yè)， 其研究潛力可見一斑。

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