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把圖畫準(zhǔn),問題自解(2018課標(biāo)Ⅰ,11)

2023-01-05 10:48 作者:數(shù)學(xué)老頑童  | 我要投稿

(2018課標(biāo)Ⅰ,11)已知雙曲線C%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D-y%5E2%3D1,FC的右焦點,過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N,若%5Cbigtriangleup%20OMN為直角三角形,則%5Cvert%20MN%20%5Cvert%20%3D(? ? )

A.%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D

B.3

C.2%5Csqrt%7B3%7D

D.4

解:易知%5Ctan%20%20%5Cangle%20MOF%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D,

所以%5Cangle%20MOF%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B6%7D

所以%5Cangle%20NOF%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B6%7D,

所以%5Cangle%20MON%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%20

所以%5Cangle%20MON不是直角,

故不妨設(shè)%5Cangle%20OMN為直角(如圖)

所以%5Cangle%20MNO%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B6%7D,

所以%5Cleft%7C%20NF%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20OF%20%5Cright%7C%3Dc%3D2

%5Cleft%7C%20MF%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C%20OF%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dc%3D1,

所以%5Cvert%20MN%20%5Cvert%20%3D%5Cvert%20MF%5Cvert%20%2B%5Cvert%20NF%20%5Cvert%20%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B3%7D.

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