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注水定理的證明

2023-02-21 18:32 作者:AIPC沒有I  | 我要投稿

作者:phy東西

審核:水缸

全文約 1000?字,閱讀需要 5?~ 10?分鐘

本文適合具有一定基礎(chǔ)的讀者閱讀

1、? ?問題描述

“注水定理”?解決的是信息論中的一個(gè)基本問題:以總?cè)萘孔畲蠡癁槟繕?biāo)的AWGN信道功率分配方案優(yōu)化。該問題描述如下:

“有K個(gè)并聯(lián)AWGN信道且且噪相互聲獨(dú)立,噪聲功率依次為

總功率受限于P?,求出使K個(gè)并聯(lián)信道功率最大化的功率分配方案。”

寫作優(yōu)化問題格式為:

(1.1)


2、一個(gè)簡單的證明

在這一節(jié)中我們給出一個(gè)比較便于理解的推導(dǎo)。?

有的人可能覺得直接將所有功率分配到最好的(噪聲功率最小的)信道里就可以,但信道容量的表達(dá)式是??

,隨功率增加,增長的幅度越來越小,這種想法啟發(fā)我們每次將功率分配到容量增長幅度最大的信道中。?

假設(shè)我們已有一個(gè)初始功率分配方案??

,滿足:


?顯然

也是一個(gè)合理的初始化方案。假設(shè)一正數(shù)

,代表接下來要分配的功率。把δ功率分配到第κ個(gè)信道中,則信道容量增加:

(2.1)


不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)該將功率分配到

最小的信道中。如果每次選取的δ盡可能小,則將功率完全分配后,一部分信道的功率分配滿足

為定值,對于另一部分較差的(噪聲功率較大的)信道

大于該定值,則不分配功率,即:?

(2.2)

??

3、 一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明?

我們重寫 (1.1) 為

4、 連續(xù)并聯(lián)信道的注水定理



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