我們都知道，傅里葉級數(shù)可以把一個滿足某些條件的函數(shù)展開為三角級數(shù)，對于

這樣的三角函數(shù)系來說，它們有如下性質(zhì)：

正是由于三角函數(shù)系存在這樣的正交性，函數(shù)y就可以展開為：

由上圖可見，展開后的相位信息進(jìn)入了系數(shù)an,bn：

有以上分析可見，三角級數(shù)中的相位通過相同頻率的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之間振幅的不同而產(chǎn)生。我們可以思考一個這樣的問題，如果展開后的級數(shù)只有正弦或者余弦函數(shù)，會產(chǎn)生相位信息嗎？比如：a1cosnw+a2cosmw。

兩種三角形式系數(shù)的關(guān)系為：

由上圖可以看到，系數(shù)an,bn之間的關(guān)系就包含了相位信息，不同頻率的諧波去相位信息是不一樣的，可以對某個信號展開后觀察這種相位變化的規(guī)律，從而得出某些有用的結(jié)論。

再變?yōu)橹笖?shù)形式：

由歐拉公式

可以看出，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)中同樣包含了相位信息。

相位信息也可以應(yīng)用在圖像處理中：圖像的頻率域包含了模和相位信息，模包含圖像整體的灰度級信息，而相位信息包含了圖像變換的信息。不同圖像，模有可能是相同的，但是相位卻是不同的，利用這一點，求取相位的相關(guān)，就可以知道圖像的差別。

簡單總結(jié)：

1：由于三角級數(shù)間存在正交關(guān)系，這種關(guān)系允許函數(shù)展開為三角級數(shù)。

2：傅里葉級數(shù)中的相位來源于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)間存在的振幅差關(guān)系。

3：傅里葉級數(shù)的相位有很多應(yīng)用。