1、周期連續(xù)時間與非周期離散頻率

當(dāng)連續(xù)時間信號為周期信號時，其傅氏變換具有離散性，表示為傅里葉級數(shù)的形式。

這里的X(f)表示

的傅里葉變換，即x(t)展開為傅里葉級數(shù)以后的傅里葉變換，由于其表達(dá)式中存在沖擊序列，所以X(f)是離散的，而沖擊序列的出現(xiàn)是由于函數(shù)x(t)的周期性而導(dǎo)致的。從頻譜Xk可以看出，這個頻譜函數(shù)也是非周期的，因為其表達(dá)式的右邊存在

這樣的因子，而其中指數(shù)中的t是一個連續(xù)變量，所以 Xk不會等于X(k+2pi) 。所以

連續(xù)函數(shù)的周期性導(dǎo)致其頻譜的離散性；同時其時域的連續(xù)性，導(dǎo)致其頻域的非周期性。

2、非周期連續(xù)時間與非周期連續(xù)頻率

非周期連續(xù)時間函數(shù)就是傅里葉變換。由于傅里葉的正變換和逆變換中分別存在dt和dw因子，因此分別說明了x(t)和x(f)兩個函數(shù)在時域的連續(xù)性和頻域的連續(xù)性。所以

連續(xù)函數(shù)的非周期性導(dǎo)致其頻譜的連續(xù)性；同時其時域的連續(xù)性，導(dǎo)致其頻域的非周期性。

3. 非周期離散時間與周期連續(xù)頻率

非周期的離散時間信號時，其傅氏變換為連續(xù)的周期函數(shù)。

由上圖可以看到，信號的離散性導(dǎo)致其頻域的周期性，同時由頻譜中的X1(f)=F[x(t)]可以看出其頻譜的連續(xù)性。

上圖中頻域的周期性是由于

其指數(shù)中不存在連續(xù)的時間變量 t 等。

所以

時域信號的離散性導(dǎo)致其頻譜的周期性，時域信號的非周期性導(dǎo)致其頻譜的連續(xù)性。

4. 周期離散時間函數(shù)與周期離散頻率

周期性的離散時間信號，其傅氏變換為離散的周期函數(shù)。

上圖表示時域的離散導(dǎo)致頻域的周期。

上圖表示時域的周期導(dǎo)致頻域的離散。

可見：

時域信號的連續(xù)性導(dǎo)致其頻譜的非周期性，連續(xù)信號的非周期性導(dǎo)致其頻譜的連續(xù)性。

時域信號的離散性導(dǎo)致其頻譜的周期性，離散和連續(xù)的時域信號的周期性導(dǎo)致其頻譜的離散性。