策略

一元函數(shù)部分

你可以永遠(yuǎn)相信泰勒展開

????泰勒公式在求極限問題真的特別萬能！但很多時(shí)候得先利用等價(jià)無窮小化簡極限式子，上例題：

這道題分母使用泰勒展開：

因此

也就是

而分子使用等價(jià)無窮小即可：

因此

直接泰勒展開？那肯定不行，試著觀察下，是不是分母可以用等價(jià)無窮小化簡？

分子可以變形

故：

分別計(jì)算極限：

所以

等價(jià)無窮小可以使很多極限化繁為簡

這樣看公式是不是簡單很多了呢？

一般x->a的極限我們都是轉(zhuǎn)換成中間變量t->0來做，比如這里我們令t=x-1，則時(shí)，于是極限：

接下來為了湊出基本的等價(jià)無窮小公式，我們：

這是因?yàn)椋?/p>

因此：

實(shí)在不行就一直“洛”下去

洛必達(dá)真的是…一種比較神奇的方法，用的好計(jì)算快，用的不好算到懷疑人生…

自從會(huì)等價(jià)無窮小和泰勒展開后我基本就不用洛必達(dá)了，我之前寫過應(yīng)對(duì)各種極限采用洛必達(dá)的方法：

有種情況你不得不用洛必達(dá)，那就是應(yīng)對(duì)比較特殊的積分極限：

應(yīng)對(duì)這種極限，第一步一般都是洛必達(dá)。但這道題不行，因?yàn)榉e分里含有這個(gè)因子，所以我們得把不含的因子提到積分外面，也就是：

然后洛必達(dá)：

數(shù)列極限

單調(diào)有界，則存在數(shù)列極限

數(shù)列極限的證明題經(jīng)?？歼@個(gè)，我們來上道例題：

夾逼定理

將式子放縮：

又因?yàn)?/p>

所以

這是個(gè)隱式積分極限，需要做的就是利用定積分的定義來做：

?

然后用夾逼定理：

題型