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第 六?章??線性空間與線性變換

&1.線性空間的定義與性質(zhì)

概念：

• 和：設(shè)V是一個(gè)非空集合，R為實(shí)數(shù)域。如果對于任意兩個(gè)元素α,β∈V，總有唯一的一個(gè)元素γ∈V與之對應(yīng)，稱為α與β的和，記作γ=α+β。

• 積：設(shè)V是一個(gè)非空集合，R為實(shí)數(shù)域。如果對于任一數(shù)λ∈R與任一元素α∈V，總有唯一的一個(gè)元素δ∈V與之對應(yīng)，稱為λ與α的積，記作δ=λα。

• 向量空間（或線性空間）：上述兩種運(yùn)算滿足一下八條運(yùn)算規(guī)律（設(shè)α,β,γ∈V；λ,μ∈R）

????——那么，V就稱為（實(shí)數(shù)域R上的）向量空間（或線性空間），

????——V中的元素不論其本來的性質(zhì)如何，統(tǒng)稱為（實(shí)）向量。

• 線性運(yùn)算：凡滿足上述八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算，就稱為線性運(yùn)算。

• 向量空間：凡定義了線性運(yùn)算的集合，統(tǒng)稱為向量空間。

• 向量定義的推廣：

• 向量不一定是有序數(shù)組；

• 向量空間中的運(yùn)算只要求滿足上述八條運(yùn)算規(guī)律，當(dāng)然也就不一定是有序數(shù)組的加法及乘數(shù)運(yùn)算。

性質(zhì)：

1. 零元素是惟一的。

2. 任一元素的負(fù)元素是唯一的，α的負(fù)元素記作-α。

3. 0α=0；(-1)α=-α；λ0=0。

4. 如果λα=0，則λ=0或α=0。

&2.維數(shù)、基與坐標(biāo)

概念：

• 線性空間的基與維數(shù)：在線性空間V中，如果存在n個(gè)元素α1,α2,...,αn，滿足

• α1,α2,...,αn線性無關(guān)；

• V中任一元素α總可由α1,α2,...,αn線性表示

????——那么，α1,α2,...,αn就稱為線性空間V的一個(gè)基，n稱為線性空間V的維數(shù)；

????——只含一個(gè)零元素的線性空間沒有基，規(guī)定它的維數(shù)為0。

• n維線性空間：維數(shù)為n的線性空間稱為n維線性空間，記為Vn。

• 坐標(biāo)：設(shè)α1,α2,...,αn是線性空間Vn的一個(gè)基，對于任一元素α∈Vn，總有且僅有一組有序數(shù)x1,x2,...,xn，使α=x1α1+x2α2+…+xnαn∈Vn，x1,x2,...,xn這組有序數(shù)就稱為元素α在α1,α2,...,αn這個(gè)基下的坐標(biāo)，并記作

&3.基變換與坐標(biāo)變換

定理：

• 坐標(biāo)變換公式：設(shè)Vn中的元素α，在基α1,α2,...,αn下的坐標(biāo)為

????——基β1,β2,...,βn下的坐標(biāo)為

????——若兩個(gè)基滿足關(guān)系式，則有坐標(biāo)變換公式

&4.線性變換

概念：

• 從集合A到集合B的映射：設(shè)有兩個(gè)非空集合A，B，如果對于A中任一元素α，按照一定的規(guī)則，總有B中一個(gè)確定的元素β和它對應(yīng)，那么，這個(gè)對應(yīng)規(guī)則稱為從集合A到集合B的映射，我們常用字母表示一個(gè)映射，譬如把上述映射記作T，并記β=T(α)或β=Tα(α∈A)。

• 線性映射：設(shè)Vn，Um分別是n維和m維線性空間，T是一個(gè)從Vn到Um的映射，如果映射T滿足

• 任給α1,α2∈Vn（從而α1+α2∈Vn），有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2)；

• 任給α∈Vn，λ∈R（從而λα∈Vn）有T(λα)=λT(α)

????——那么，T就稱為從Vn到Um的線性映射，或稱為線性變換。

&5.線性變換的矩陣表達(dá)式

概念：

• 設(shè)T是線性空間Vn中的線性變換，在Vn中取定一個(gè)基α1,α2,...,αn，如果這個(gè)基在變換T下的像（用這個(gè)基線性表示）為

????——上式可表示為

????——其中

????——那么，A就稱為線性變換T在基α1,α2,...,αn下的矩陣。