負二項分布

2023-07-22 00:17 作者:龍叔啊 0人讀過 | 我要投稿

（1）定義：現(xiàn)在開始做實驗，我們將每次試驗成功記為事件 $A$ ，并且假設(shè) $P(A)%3Dp%EF%BC%8CP%EF%BC%88%5Cbar%7BA%7D%20%EF%BC%89%3D1-p$ ，并且我們不停地做實驗，直到第 $r$ 次時停止，設(shè)所做實驗總次數(shù)為 $x$ ，且 $P%EF%BC%88X%3Dk%EF%BC%89%3DC_%7Bk-1%7D%5E%7Br-1%7Dp%5Er%20q%5E%7Bk-r%7D%20%EF%BC%8C%EF%BC%88q%3D1-p%EF%BC%89%E3%80%82$

現(xiàn)解釋概率分布的由來：因為恰好第 $r$ 次發(fā)生，那么前面則是從 $k-1$ 次中挑出 $r-1%0A$ 次發(fā)生，即為 $P%EF%BC%88X%3Dk%EF%BC%89%3DC_%7Bk-1%7D%5E%7Br-1%7Dp%5E%7Br-1%7D%20%EF%BC%881-p%EF%BC%89%5E%7B%EF%BC%88k-1%EF%BC%89-%EF%BC%88r-1%EF%BC%89%7Dp%20$ ，整理后可得出概率分布。此時易知幾何分布為 $r%3D1$ 的特殊情形。

（2） $E%EF%BC%88X%EF%BC%89%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D%EF%BC%8CD%EF%BC%88X%EF%BC%89%3D%5Cfrac%7B(1-p)r%7D%7Bp%5E2%20%7D%20%20$ ，此時 $r%3D1$ 則為幾何分布的期望和方差。

證明：

我們記每次發(fā)生的次數(shù)為 $X_%7B1%7D%20%EF%BC%8CX_%7B2%7D%EF%BC%8C%20X_%7B3%7D%20....X_%7Bk%7D%20$ ,且 $X_%7B1%7D%20%EF%BC%8CX_%7B2%7D%EF%BC%8C%20X_%7B3%7D%20....X_%7Bk%7D%20$ 相互獨立，那么就可以利用拆分的視角去看，把每一個發(fā)生的次數(shù)看成是幾何分布。那么可以得到 $E%EF%BC%88X%EF%BC%89%3DE%EF%BC%88X_%7B1%7D%2B%20X_%7B2%7D%20%2BX_%7B3%7D%20%2B...%2B%20X_%7Bk%7D%20%EF%BC%89%3DE%EF%BC%88X_%7B1%7D%EF%BC%89%2BE%EF%BC%88%20X_%7B2%7D%EF%BC%89%2B...%2BE%EF%BC%88X_%7Bk%7D%20%EF%BC%89%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D%20$