定義 一個m維流形是指一個具有可數(shù)基的Hausdorff空間X，它的每一點x有一個領域同胚于R^m中的一個開子集。

1-維流形通常稱為 曲線? 2-維流形稱為曲面? 流形是一類很重要的空間，在微分幾何和代數(shù)拓撲中有充分的研究。

我們將證明，若X是一個緊致流形，則X可以嵌入到一個有限維歐式空間中；

定理? 若X是一個m-維緊致流形，則X可以嵌入到R^N中，其中N是某一個正整數(shù)。

下面給出拓撲維數(shù)概念

定義 空間X的一個子集族A稱為m+1階的，如果X的某一點屬于A的m+1 個元素之中，并且X的任何點都不會包含在A的多于m+1個元素之中。

定義 空間X稱為有限維的，如果存在整數(shù)m，使得對于X的任意開覆蓋A，有最多為m+!階的X的一個開覆蓋B加細A。X的拓撲維數(shù)定義為滿足上述要求的m的最小值，記為dimX。

R 的任意一個緊致子空間X的拓撲維數(shù)最多為1。

區(qū)間 X=【0，1】的拓撲維數(shù)為1

R^2的任意一個緊致子集X的拓撲維數(shù)最多為2.