定義1.1 由m×n個(gè)數(shù)a(i , j)組成的一個(gè)m行n列的矩陣數(shù)表，稱為一個(gè)m×n矩陣。

? 元素全為零的矩陣稱為零矩陣。

? 兩個(gè)行數(shù)相等、列數(shù)也相等的矩陣稱為同型矩陣。

? 特殊方陣：

○ 對(duì)角矩陣

diag(a11,a22,...,ann)

○ 數(shù)量矩陣和單位矩陣

§ 主對(duì)角元素都相同的對(duì)角矩陣為數(shù)量矩陣。

§ 主對(duì)角線上全為1的數(shù)量矩陣為單位矩陣（記為I或E）

○ 三角矩陣

§ 上三角矩陣（U）

§ 下三角矩陣（L）

○ 對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣

§ 對(duì)稱矩陣

a(i , j) = a(j , i)

§ 反對(duì)稱矩陣

a(i , j) = - a(j , i)

? 矩陣的初等變換

○ 增廣矩陣

定義1.2 下面三種變換稱為矩陣的初等行（列）變換

○ 對(duì)調(diào)

○ 倍乘

○ 倍加

矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。

矩陣的初等變換是可逆的

? 矩陣之間的等價(jià)具有下列性質(zhì)

○ 反身性 A~A

○ 對(duì)稱性 A~B，則B~A

○ 傳遞性 若A~B，B~C，則A~C

只有行初等變換才能保證方程組的同解性

定義1.3 一個(gè)m×n矩陣A稱為行階梯形矩陣是指A滿足：

a. 如果有零行，則零行全部位于該矩陣的下方。

b. 把每個(gè)非零行左邊第一個(gè)非零行元素稱為首非零元，其左邊零元素的個(gè)數(shù)隨著行號(hào)的增加而增加。

首非零元為1,且這些首非零元所在的列的其他元素全為零。

這種應(yīng)用矩陣的初等行變換，把方程組的增廣矩陣化為階梯形矩陣或行最簡形矩陣，然后再求線性方程組的解的方法稱為高斯消元法。

定義1.4 矩陣A經(jīng)過初等行變換化為行階梯形矩陣后，其非零的行數(shù)稱為矩陣A的秩，記為R(A)。

? 對(duì)于一個(gè)n元非齊次線性方程組，總有

R(A)<=R(A,b)<=R(A)+1

定理1.1? 對(duì)n元非齊次線性方程組

1. 無解的充要條件R(A)<R(A,b)

2. 唯一解的充要條件R(A)=R(A,b)=n

3. 無數(shù)解的充要條件R(A)=R(A,b)<n

其中，自由未知量個(gè)數(shù)為n-R(A)

推論1.1 方程個(gè)數(shù)m小于未知量個(gè)數(shù)n，方程必有非零解，從而有無窮多解。

定義1.5 設(shè)圖G=(V,E)有n個(gè)結(jié)點(diǎn)V={v1,v2...vn},則n階方陣A(G)=(aij)稱為圖G的鄰接矩陣，其中

aij=1(vi與vj鄰接)

aij=0(vi與vj不鄰接)