對于數(shù)學(xué)人來說，那些符號和公式就是最動(dòng)聽的樂譜，曲線和曲面就是最優(yōu)美的畫作，而數(shù)學(xué)語言則是我們之間的密電碼，“自由而無用的靈魂”將伴隨我們終生。

撰文?|?范明

第一次聽說母校復(fù)旦大學(xué)的民間校訓(xùn)“自由而無用的靈魂”，是在2015年校慶110周年的時(shí)候，據(jù)說此語最早出自一個(gè)畢業(yè)生在校園BBS上的留言：“如果你看見有人在路上走著走著，忽然就自己唱起歌來，那人八成是復(fù)旦的，因?yàn)橹挥袕?fù)旦才能培養(yǎng)出這么自由而無用的靈魂?！?那時(shí)已在坊間流傳了十多年，其知名度遠(yuǎn)超官方校訓(xùn)。所謂“自由”，乃思想與學(xué)術(shù)以至生活觀念能在無邊的時(shí)空中恣意游走；所謂“無用”，則是對身邊現(xiàn)實(shí)功利的有意疏離。其實(shí)最能詮釋“自由而無用”精神的學(xué)科，非純數(shù)學(xué)莫屬。意大利著名女性數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家瑪麗亞·加埃塔納·阿涅西?(Maria Gaetana Agnesi ，1718－1799)?在其經(jīng)典巨著《分析講義》的前言中寫道：數(shù)學(xué)“賦予了世界一種特有的簡單和純粹?(clarity and simplicity)?……按照自然秩序運(yùn)行，提供了可能是最好的工具，和最偉大的智慧之光。”?

現(xiàn)代數(shù)學(xué)精神越來越遠(yuǎn)離塵世，使得人類的自我完善成為可能，當(dāng)今不少人正是因?yàn)檫@一點(diǎn)才從事數(shù)學(xué)研究。三、四十年前在復(fù)旦數(shù)學(xué)系/所讀書的時(shí)候，曾度過幾年“自由而無用”的日子、讀過幾本“自由而無用”的書、做過一些“自由而無用”的事，現(xiàn)在想來也算是與復(fù)旦靈魂的某種契合。六年多前筆者在《我的復(fù)旦七年》一文中，回憶了在母校度過的那段難忘的歲月。在復(fù)旦念數(shù)學(xué)的七年時(shí)間，可以說是一步步顛覆認(rèn)知、重塑三觀的過程，不僅是對數(shù)學(xué)，更是對人生。迄今已經(jīng)大學(xué)畢業(yè)整整40年了，借機(jī)再碼些“自由而無用”的文字權(quán)當(dāng)回憶，免得再過幾年會(huì)統(tǒng)統(tǒng)忘光。

17世紀(jì)牛頓和萊布尼茨同時(shí)創(chuàng)立了微積分理論，被稱為“微積分之母”的阿涅西在《分析講義》(左圖)?中第一次將這兩個(gè)大冤家的數(shù)學(xué)方法總結(jié)到一起，該書在歐洲流行了60多年。微積分引入無窮小量而產(chǎn)生的問題引發(fā)了史上第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，微積分的嚴(yán)格數(shù)學(xué)基礎(chǔ)直到十九世紀(jì)才被“現(xiàn)代分析之父”、大器晚成的德國數(shù)學(xué)家卡爾·魏爾斯特拉斯?(Karl Weierstrass，1815-1897)?最后建立，從而使得數(shù)學(xué)分析的敘述終于達(dá)到了真正的精確化。順便說一下，老魏在成為數(shù)學(xué)家之前據(jù)說是體育老師。如今人們在諷刺某人數(shù)學(xué)不好時(shí)，常常愛說那人的數(shù)學(xué)“是體育老師教的”，看來這話還真不能隨便說。

與老魏同時(shí)期還有一位同樣名為卡爾的德國老鄉(xiāng)，在其生命后期也曾致力于微積分的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究”，并在1881年前后寫下了《數(shù)學(xué)手稿》。情愿相信他的治學(xué)態(tài)度是認(rèn)真的，可惜研究方法不對，仍然停留在牛頓、萊布尼茨和拉格朗日的時(shí)代，又被后人捧上神壇。如果當(dāng)年兩位卡爾有緣相見，不知會(huì)是啥光景，遺憾的是二人失之交臂。晩清的中國數(shù)學(xué)家李善蘭?(1811-1882)?與英國漢學(xué)家、倫敦傳道會(huì)傳教士偉烈亞力?(A. Wylie)?合譯美國數(shù)學(xué)家羅密士?(E. Loomis)?所著《代微積拾級》(右圖)?一書，將Calculus譯成“微積分”，這個(gè)“微積分”譯得很傳神。

筆者少年時(shí)代覺得微積分很神秘，總會(huì)聯(lián)想到達(dá)芬奇、貝多芬，當(dāng)然此“分”非彼“芬”。文革后期高中畢業(yè)、失學(xué)下鄉(xiāng)，百無聊賴中找了一套大學(xué)課本來讀，習(xí)題做了幾大本。其實(shí)并沒有真正搞懂，主要是用來打發(fā)時(shí)日的一貼自我安慰劑，最大收獲則是為77年高考的數(shù)學(xué)附加題貢獻(xiàn)了十幾分。當(dāng)年也曾讀過《數(shù)學(xué)手稿》，但越讀越糊涂，尤其那個(gè)零分之零，為此考大學(xué)第一志愿報(bào)了復(fù)旦數(shù)學(xué)，希望弄個(gè)明白。大一數(shù)學(xué)分析課上學(xué)了老魏等建立的極限ε-δ定義以及一套完整的極限理論，似乎才漸漸明白起來，業(yè)余民科與專業(yè)大神畢竟不同。老魏于1872年構(gòu)造了一個(gè)“處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)”的虐心函數(shù)——可看作是分形曲線的雛形，下圖為德國2012年為這個(gè)函數(shù)及曲線140歲生日發(fā)行的郵票。

大三第一學(xué)期開始讀實(shí)變函數(shù)論，老魏那個(gè)處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的東東都算是小菜一碟的好函數(shù)了。這次輪到法國人閃亮登場，Marie Jodan、Emile Borel、Henri Lebesgue定義并推廣了測度與積分的概念。他們還構(gòu)造出各種各樣稀奇古怪的點(diǎn)集合與函數(shù)，比如測度為零的稠密點(diǎn)集、可測但處處不連續(xù)的函數(shù)等。Lebesgue的工作是20世紀(jì)科學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重大貢獻(xiàn)，但在他的研究中扮演了重要角色的那些不連續(xù)和不可導(dǎo)的函數(shù)曾被人們認(rèn)為違反了所謂的完美性法則，是數(shù)學(xué)中的變態(tài)和不健康部分，從而一度受到某些數(shù)學(xué)家的冷遇。

這兩門課程我們使用的教材是復(fù)旦老師自己編寫、高等教育出版社出版的《數(shù)學(xué)分析》和《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》，這兩套書是復(fù)旦為中國數(shù)學(xué)事業(yè)貢獻(xiàn)的最重要的教材，從1978年第一版開始即為國內(nèi)最早、最經(jīng)典、最標(biāo)準(zhǔn)的專業(yè)教科書，受益的學(xué)生不可計(jì)數(shù)。盡管這些艱深的理論、刁鉆的難題，日后未必有什么實(shí)際用處。記得有位名人說過：“數(shù)學(xué)是訓(xùn)練思想的體操”，這些思維訓(xùn)練以及數(shù)學(xué)的精神傳承和文化沉淀，對于一個(gè)人的影響可以是一生的。故莊子曰：“無用之用，是為大用?！?/p>

那時(shí)的參考書主要是蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家的著作中譯本，如菲赫金哥爾茲著八冊《微積分學(xué)教程》(上圖)、吉米多維奇著《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》(左下圖)、那湯松著《實(shí)變函數(shù)論》(右下圖)，每套書都材料豐富、論述詳盡、文字優(yōu)美，堪稱經(jīng)典。格里高利·米哈伊洛維奇·菲赫金哥爾茲?(Григо?рий Миха?йлович Фихтенго?льц，1888-1959)?是著名的分析數(shù)學(xué)列寧格勒學(xué)派奠基人之一，在列寧格勒大學(xué)?(現(xiàn)圣彼得堡大學(xué))?工作40多年，主講了30多年數(shù)學(xué)分析課。他和學(xué)生們一起創(chuàng)立了數(shù)學(xué)分析教研室，培養(yǎng)了許多世界著名的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家，人們贊揚(yáng)“他的每一堂課都是一篇教學(xué)杰作，甚至他的板書也像是一幅藝術(shù)作品”?！段⒎e分學(xué)教程》是菲赫金哥爾茲幾十年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教學(xué)藝術(shù)的結(jié)晶，堪稱數(shù)學(xué)分析的百科全書。

伊西多爾·保羅維奇·那湯松?(Исидор Павлович Натансон，1906-1964)?出生于瑞士蘇黎世，是菲赫金哥爾茲的學(xué)生及列寧格勒學(xué)派的代表人物?！秾?shí)變函數(shù)論》是一本難得的語言流暢的精品譯作，徐瑞云先生翻譯、陳建功先生校訂，只是書中很多習(xí)題難到使人懷疑人生。白俄羅斯籍?dāng)?shù)學(xué)家鮑里斯·帕夫羅維奇·吉米多維奇?(Борис Павлович Демидович，1906-1977)?是安德雷·尼古拉耶維奇·柯爾莫哥洛夫?(Андре?й Никола?евич Колмого?ров?，1903-1987)?的學(xué)生，柯爾莫哥洛夫是20世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一、蘇聯(lián)另一個(gè)著名的數(shù)學(xué)學(xué)派——莫斯科學(xué)派的領(lǐng)軍人物。《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》共有4622題，涵蓋數(shù)學(xué)分析的大部分基礎(chǔ)知識，是每個(gè)數(shù)學(xué)人的入門功夫秘籍，那時(shí)沒有現(xiàn)在那么多習(xí)題解答，全靠自己一題一題做出來。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在德國數(shù)學(xué)家喬治·康托爾?(George Cantor，1845-1918)?的集合論基礎(chǔ)之上的，為數(shù)學(xué)的統(tǒng)一提供了一線希望，但康托爾自己發(fā)現(xiàn)的悖論及羅素悖論卻在19世紀(jì)末引發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。當(dāng)年還摘抄過蕭文燦先生1930年的著作《集合論之初步》文白相間的敘述，現(xiàn)在讀來依然十分有趣，特摘錄一段如下：“據(jù)氏自述，彼發(fā)表之集合論，曾弗十年之躊躇，蓋其中所含之思想與常識相反者頗多，而為常識意想不到者亦復(fù)不少，實(shí)為富于革命色彩而又有巨大建設(shè)之理論科學(xué)。”?

在實(shí)變課上學(xué)到了用以比較無窮集間大小的基數(shù)的概念以及連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)如同平面幾何中的第五平行公理一樣，既不可被證明、又不可被證偽。最引人入勝的則是關(guān)于公理系統(tǒng)的“哥德爾不完備性定理”，筆者讀研時(shí)的教學(xué)實(shí)習(xí)講座就是以公理系統(tǒng)的不完備性為題目。出生于奧匈帝國的美國數(shù)學(xué)家?guī)鞝柼亍じダ椎吕锵！じ绲聽?(Kurt Friedrich G?del，1906-1978)?于1931年證明了“無矛盾”和“完備性”不能同時(shí)滿足，“真”與“可證”是兩個(gè)概念，在某種意義上悖論的陰影將永遠(yuǎn)伴隨我們。

后來又讀了匈牙利裔美國數(shù)學(xué)家保羅·哈爾莫斯?(Paul Halmos，1916-2006)?所著《測度論》中譯本，與蘇俄數(shù)學(xué)家的風(fēng)格有所不同。筆者最欣賞哈爾莫斯的一句話：“To learn mathematics is to do mathematics”。據(jù)說使用墓碑符號???來表示證明完畢是他開始使用的，因此這個(gè)符號有時(shí)叫作“哈爾莫斯”。那時(shí)筆者涉獵了幾乎所有能找到的分析數(shù)學(xué)參考書，但除了仔細(xì)研讀了那湯松的《實(shí)變函數(shù)論》和哈爾莫斯的《測度論》之外，大部分只是淺嘗輒止。有些重要的參考書很難買到，上述二書都是從圖書館借來，手抄了主要內(nèi)容，因此練出來一流抄功，圖為筆者大學(xué)期間的讀書筆記。

大三第二學(xué)期泛函分析課程的主要內(nèi)容是Banach空間和Hilbert空間以及這些空間上的線性算子，我們學(xué)到的Banach空間上第一個(gè)也是最重要的定理之一是“共鳴定理”，即關(guān)于有界線性算子的一致有界性原理。這個(gè)定理的一般形式是波蘭數(shù)學(xué)家斯特凡·巴拿赫?(Stefan Banach，1892-1945)?與他的導(dǎo)師胡戈·斯坦豪斯?(Hugo Steinhaus ，1887-1972)?一起于1927年率先證明并以二人的名字命名，該定理與Hahn-Banach定理及開映像原理一起被認(rèn)為是泛函分析的三大基石。提到德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特?(David Hilbert，1862-1943)，自然要聯(lián)想到1900年他在巴黎的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)提出的著名的23個(gè)問題，這位“數(shù)學(xué)界最后的一位全才”、哥廷根學(xué)派的代表人物為20世紀(jì)的許多數(shù)學(xué)研究指明方向。

說來有趣，斯坦豪斯的導(dǎo)師是希爾伯特、學(xué)生是巴拿赫，斯坦豪斯雖然沒有他的老師和學(xué)生著名、也沒有以自己的名字命名的空間，但他在這兩類空間中架起了一座橋梁。巴拿赫與斯坦豪斯都是波蘭的國寶級大神，幾年前本人曾到后者工作多年的波蘭弗羅茨瓦夫大學(xué)觀光，在大學(xué)博物館拍攝了圖片，圖中左半部是二戰(zhàn)期間著名的波蘭利沃夫?(今屬烏克蘭)?學(xué)派成員的合影、右上者為巴拿赫、右下者為斯坦豪斯。作為數(shù)學(xué)家的大本營，巴拿赫帶領(lǐng)一群數(shù)學(xué)天才在利沃夫大學(xué)旁的蘇格蘭咖啡館里通宵達(dá)旦地神侃數(shù)學(xué)，他們在那里討論的193個(gè)問題被整理成了《來自蘇格蘭咖啡館的數(shù)學(xué)問題集》。匈牙利數(shù)學(xué)家Alfréd Rényi有一句名言：“數(shù)學(xué)家是把咖啡變成定理的機(jī)器”，而正宗的蘇格蘭咖啡是用聞名世界的蘇格蘭威斯忌與咖啡調(diào)和而成。這樣說來，泛函分析就是美酒加咖啡的杰作。

泛函分析課教科書中還收錄了一些新近的研究成果，例如瑞典數(shù)學(xué)家連納特·卡爾松?(Lennart Carleson)?1966年證明的魯津猜想，即平方可積函數(shù)的傅立葉級數(shù)幾乎處處收斂；以及蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維克多·羅蒙諾索夫?(Victor Lomonosov)?1973年證明的Banach空間上的全連續(xù)線性算子具有非平凡超不變子空間的定理。高年級之后有些課程開始使用影印的英文原著，大四討論班及作畢業(yè)論文時(shí)讀了哈爾莫斯的第二本書《A Hilbert space problem book》，其中包括200多個(gè)問題。希爾伯特和他的學(xué)生們在20世紀(jì)前三十年提出并發(fā)展的Hilbert 空間與算子譜理論，與Banach空間理論一起，標(biāo)志著泛函分析作為獨(dú)立的、也是最年輕的分析數(shù)學(xué)的分支學(xué)科誕生，被稱為“代數(shù)和分析在方法上的統(tǒng)一”。

我們在研究生課程中學(xué)習(xí)了蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伊斯拉埃爾·莫伊謝耶維奇·蓋爾范德?(Израиль Моисеевич Гельфанд，1913-2009)??在1938年的博士論文中創(chuàng)立的“賦范環(huán)論”，即交換的Banach代數(shù)。他在Banach空間的分析和幾何結(jié)構(gòu)之外，賦予了這些空間合適的代數(shù)結(jié)構(gòu)，從而奠定了一般Banach代數(shù)的基礎(chǔ)。蓋爾范德是出生于烏克蘭敖德薩省的猶太后裔，柯爾莫哥洛夫的另一位學(xué)生，首屆數(shù)學(xué)沃爾夫獎(jiǎng)得主，20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。在本科和研究生階段為我們講授泛函分析課程的夏道行先生曾于1957-58年間留學(xué)莫斯科大學(xué)，師從蓋爾范德，成為他的得意門生。

2017年秋為紀(jì)念恢復(fù)高考四十周年，復(fù)旦舉辦了盛大的77、78級同學(xué)返?；顒?dòng)，各類回憶文章、各種聚會(huì)花絮，令人目不暇接，再現(xiàn)了當(dāng)年豐富多彩的校園生活。但是作為數(shù)學(xué)系的學(xué)生，留下深刻記憶的還是那些“書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟”的日子，因此筆者和同學(xué)玩笑說：“我們大概進(jìn)的是在平行空間中的另一個(gè)復(fù)旦”。1980年代初期的中國，生活還很艱苦，物質(zhì)還很匱乏，書本的印刷質(zhì)量也很粗糙，然而名師的指導(dǎo)、知識的沁潤、精神的傳承卻是無價(jià)的。

盡管當(dāng)年讀過的書中內(nèi)容已經(jīng)記不太清了，但閱讀時(shí)的愉悅之感、解題中的冥思苦想、頓悟后的豁然開朗，柳暗花明、漸入佳境，依舊恍同昨日。對于數(shù)學(xué)人來說，那些符號和公式就是最動(dòng)聽的樂譜，曲線和曲面就是最優(yōu)美的畫作，而數(shù)學(xué)語言則是我們之間的密電碼，“自由而無用的靈魂”將伴隨我們終生。德國大數(shù)學(xué)家赫爾曼·克勞斯·胡戈·外爾?(Hermann Klaus Hugo Weyl)?在談及哥德爾不完備性定理時(shí)曾發(fā)出這樣的感嘆：“上帝是存在的，因?yàn)閿?shù)學(xué)無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因?yàn)槲覀儾荒茏C明這種相容性?！?其實(shí)人生又何嘗不是如此。

原稿：2019-07-22 修改：2021-12-30

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