【菲赫金哥爾茨微積分學教程精讀筆記Ep71】實數(shù)完備性第六波定理互推（上）
=我們在Ep21聊了“實數(shù)完備性”的第一個定理——“確界原理”：非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界。
我們在Ep49介紹了“實數(shù)完備性”的第二個定理——“單調有界原理”：單調有界數(shù)列必收斂。
我們在Ep61介紹了“實數(shù)完備性”的第三個定理——“閉區(qū)間套定理”：
閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；
lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時——
則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點/一個數(shù)。
我們在Ep66介紹了“實數(shù)完備性”的第四個定理——“柯西準則”——
條件：對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當n>N且n'>N時，有|xn-xn'|<ε；
結論：數(shù)列{xn}有極限x，即對于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當n>N'時，有|xn-x|<ε'。
今天我們來從“閉區(qū)間套原理”推導“柯西準則”。
充要條件，必然證明分為必要性和充分性兩部分——
a.必要性：用數(shù)列極限的定義證明即可。
b.充分性——
已知：對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當n>N且n'>N時，有|xn-xn'|<ε；
求證：數(shù)列{xn}有極限x，即對于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當n>N'時，有|xn-x|<ε'。
工具：閉區(qū)間套定理——
閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；
lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時——
則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點/一個數(shù)。
分析：證明的關鍵是閉區(qū)間套的構造，利用柯西列的性質固定一端。
證明——
step1：構造閉區(qū)間套——
已知，存在自然數(shù)N1'，當n>N1'且n'>N1'時，有|xn-xn'|<1，取N1=N1'+1>N1'，即有|xn-xN1|<1，即xN1-1<xn<xN1+1，令a1=xN1-1，b1=xN1+1，得到區(qū)間I1=[a1，b1]包含數(shù)列第N1項之后所有項；
存在自然數(shù)N2'，當n>N2'且n'>N2'時，有|xn-xn'|<1/2，取N2=max{N1'，N2'}+1>=N2'，即有|xn-xN2|<1/2，即xN2-1/2<xn<xN2+1/2，令a2=xN2-1/2，b2=xN2+1/2，得到區(qū)間I2=[a2，b2]包含數(shù)列第N2項之后所有項；
以此類推，……；
存在自然數(shù)Nk'，當n>Nk'且n'>Nk'時，有|xn-xn'|<1/2^（k-1），取Nk=max{Nk-1'，Nk'}+1>Nk'，即有|xn-xNk|<1/2^（k-1），即xNk-1/2^（k-1）<xn<xNk+1/2^（k-1），令ak=xNk-1/2^（k-1），bk=xNk+1/2^（k-1），得到區(qū)間Ik=[ak，bk]包含數(shù)列第Nk項之后所有項；
對任意自然數(shù)k，Ik必然為Ik-1的子集，即ak=xNk-1/2^（k-1）>=xNk-1-1/2^（k-2）=ak-1，且bk=xNk+1/2^（k-1）<=xNk-1+1/2^（k-2）=bk-1——
（反證法）如果ak=xNk-1/2^（k-1）<xNk-1-1/2^（k-2）=ak-1，則bk=xNk+1/2^（k-1）=xNk-1/2^（k-1）+1/2^（k-2）<xNk-1-1/2^（k-2）+1/2^（k-2）=xNk，導出矛盾，則將上述操作無窮循環(huán)下去，得到一個閉區(qū)間套的無限序列——Im=[am，bm]；
又對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)M=log2 [1/ε]+2,m>M時，bm-am=[xNm+1/2^（m-1）]-[xNm-1/2^（m-1）]=1/2^（m-2）<1/2^（M-2）=ε，即lim（bm-am）=0；
由閉區(qū)間套定理，這些閉區(qū)間存在唯一公共點x。
step2：證明x為數(shù)列{xn}極限——
對于任意自然數(shù)m，Im包含數(shù)列第Nm項之后所有項；
對于任意自然數(shù)m，Im包含x；
由1，2，對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)M=log2?[1/ε]+2,m>M時，|xn-x|<=bm-am=[xNm+1/2^（m-1）]-[xNm-1/2^（m-1）]=1/2^（m-2）<1/2^（M-2）=ε，即lim（xn-x）=0，lim xn=x，證畢。
先這樣！
