以往，由于人們?cè)谔幚碇袊?guó)剩余定理（同余）的問題時(shí)，人們只考慮m1,m2,?,mk模自身求乘率M （倍數(shù)），而忽視了（發(fā)現(xiàn)）模與模是一種相互平等對(duì)稱關(guān)系概念。特別在兩兩互素人們又把精力的重點(diǎn)集中放在只考慮a 的求乘率、而忽視b 的求乘率，且沒有考慮模與模a ，b兩兩互素的關(guān)系與概念，所給出的Mi Mi =1(modm i) 必有解。更沒有考慮模與模之間存在的隱性“不完全商”，所造成（-1）負(fù)余數(shù)現(xiàn)象，根據(jù)a ，b相互同等對(duì)稱關(guān)系，他們必然存在各自的反乘率（倍數(shù)）、反乘數(shù)，由于這種隱性現(xiàn)象的存在長(zhǎng)期沒有被發(fā)現(xiàn)，所以導(dǎo)致很長(zhǎng)一段時(shí)間“中國(guó)剩余定理”沒有獲得完善完美的解決方案。

? ? ? ?剩余倍分法對(duì)于以上方法及此類問題中存在的不完全商，以及對(duì)大商數(shù)形成的負(fù)余數(shù)的性質(zhì)與概念，均研究得較為深入，對(duì)模兩兩互素且余數(shù)為負(fù)的問題也同步得到解決，進(jìn)而推出此類問題有較為完善同步解決方案，此外，上述方法在反解問題上的研究及在深度、廣度上也能令人滿意。以上所述的剩余倍分法對(duì)于同余、輾轉(zhuǎn)相除法、同余式組、二元一次不定方程問題有著相對(duì)完善的解決方案，且使用范圍較廣，可作為解決該類問題的一般方法推廣。

剩余倍分法的優(yōu)勢(shì)

1. 剩余倍分法之倍分式計(jì)算簡(jiǎn)便，只通過簡(jiǎn)單的移位運(yùn)算和四則運(yùn)算即可實(shí)現(xiàn)，計(jì)算

所用的時(shí)間較同類的其他方法更少，其算法的時(shí)間復(fù)雜度與空間復(fù)雜度均較低。

2. 剩余倍分法的使用范圍較廣，既可以應(yīng)用于初等數(shù)論中解決同余式、同余式組和二

元一次不定方程的相關(guān)問題，亦可用于解決計(jì)算機(jī)算法、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、最優(yōu) HASH 函數(shù)

設(shè)計(jì)、快速傅里葉變換，以及環(huán)論、域論等領(lǐng)域中的相關(guān)問題。

3. 剩余倍分法將兩兩互素的模放在同等對(duì)稱的地位，引入了反乘數(shù)和反乘率的概念，

考慮了負(fù)余數(shù)以及所獲解數(shù)的正、反性質(zhì)，從而將獲解答案穩(wěn)定在非負(fù)數(shù)的范圍內(nèi)。

4. 剩余倍分法可同時(shí)求解反乘數(shù)、反乘率，從而得出兩兩互素模之間存在的規(guī)律和性

質(zhì)，計(jì)算方法嚴(yán)謹(jǐn)且效率高。

5. 剩余倍分法求解的中間過程，每一步都具有實(shí)際的算數(shù)意義，不同于輾轉(zhuǎn)相除法的

中間過程，每一步都沒有明顯的實(shí)際意義。

6. 剩余倍分法具有同步糾錯(cuò)功能，計(jì)算過程中的每一步都可以自動(dòng)檢驗(yàn)，即若出現(xiàn)無

法整除的情況，則意味著計(jì)算錯(cuò)誤；只要計(jì)算出錯(cuò)，后續(xù)的步驟便無法進(jìn)行，由此可保證

計(jì)算的正確性。

7. 剩余倍分法所計(jì)算出的乘數(shù)、乘率、反乘數(shù)、反乘率可根據(jù)實(shí)際情況靈活選用，例

如在大模數(shù)計(jì)算時(shí)，使用反乘率或反乘數(shù)代入計(jì)算，或可大大節(jié)省計(jì)算量。

8. 剩余倍分法的原理淺顯準(zhǔn)確，易于理解，且比起其他方法來更適用于計(jì)算機(jī)編程實(shí)

現(xiàn)。

9. 在應(yīng)用中國(guó)剩余定理定理時(shí)，按照通常的辦法，是先做輾轉(zhuǎn)相除法，再往回逐次算

出寄數(shù)，這樣得出的答案既可能是乘數(shù)，也可能是反乘數(shù)；而剩余倍分法是往回逐次算出

乘數(shù)，最后的答案一定就是乘數(shù)，含義直觀而明確。

?10. 應(yīng)用剩余倍分法可以完美地解決困擾人類多年的“蓍卦發(fā)微”“行程相及”等數(shù)學(xué)問題，不僅證明了秦九韶大衍求一術(shù)、大衍總數(shù)術(shù)演算方法的正確性，而且發(fā)現(xiàn)“行程相及”這類問題的計(jì)算方法已不再局限于求解同余式組一般的未知數(shù)，只用速度即可求出距離，而非通 常的用速度和時(shí)間求距離，算法極盡巧妙。

引：陳永樂《素?cái)?shù)分布及其在RSA分析中的應(yīng)用》? ???

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