已知結(jié)論的n次方（2020課標(biāo)Ⅱ?qū)?shù)）

2022-10-16 13:17 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2020課標(biāo)Ⅱ，21）已知函數(shù) $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Csin%20%5E2x%5Csin%20%202x$ .

（1）討論 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在區(qū)間 $%5Cleft(%200%2C%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ 的單調(diào)性；

（2）證明： $%5Cleft%7C%20f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cright%7C%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B8%7D$ ；

（3）設(shè) $n%5Cin%20%5Cmathbf%7BN%7D%5E*$ ，證明：

$%5Csin%20%5E2x%5Csin%20%5E22x%5Csin%20%5E24x%5Ccdots%20%5Csin%20%5E22%5Enx%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B3%5En%7D%7B4%5En%7D$

解：（1）求導(dǎo)，得

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%7D%26%3D2%5Csin%20x%5Ccdot%20%5Ccos%20x%5Ccdot%20%5Csin%202x%2B%5Csin%20%5E2x%5Ccdot%20%5Ccos%202x%5Ccdot%202%5C%5C%0A%09%26%3D2%5Csin%20%5E2x%5Cleft(%20%5Csqrt%7B3%7D%2B2%5Csin%20%20x%20%5Cright)%20%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csqrt%7B3%7D-2%5Csin%20%20x%7D%20%5Cright)%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

令 $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D0$ ，得 $x%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B3%7D$ ，或 $x%3D%5Cfrac%7B2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B3%7D$ ，

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B3%7D%20%5Cright)%20%7D$ ， $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cnearrow%20%7D$

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B3%7D%2C%5Cfrac%7B2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B3%7D%20%5Cright)%20%7D$ ， $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B3%7D%2C%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20%7D$ ， $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$

（2）由（1）知， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft%5B%200%2C%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright%5D$ 的

極大值為 $f%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B3%7D%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B8%7D$ ，

極小值為 $f%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B3%7D%20%5Cright)%20%3D-%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B8%7D$ ，

又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=f%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3Df%5Cleft(%5Cpi%5Cright)%3D0" alt="f%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3Df%5Cleft(%5Cpi%5Cright)%3D0">，

故 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft%5B%200%2C%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright%5D$ 的

最大值為 $%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B8%7D$ ，最小值為 $-%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B8%7D$ ，

即 $%5Cforall%20x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%5B%200%2C%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright%5D%7D$ ， $%5Cleft%7C%20f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cright%7C%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B8%7D$ .

又因?yàn)?/p>

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20x%2B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20%7D%26%3D%5Csin%20%5E2%5Cleft(%20x%2B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20%5Csin%20%5Cleft(%202x%2B2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%3D%5Csin%20%5E2x%5Csin%202x%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3Df%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的最小正周期為 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D$ ，

所以 $%5Cforall%20x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cmathbf%7BR%7D%7D$ ， $%5Cleft%7C%20f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cright%7C%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B8%7D$ ，證畢.

（3）由（2）知：

$%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D$ ， $%5Cleft%7Cf%5Cleft(x%5Cright)%20%5Cright%7C%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B8%7D%3D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%5Cright)%20%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D$ .

所以：

$%5Cleft%7C%20%5Csin%20%5E2x%5Csin%20%202x%20%5Cright%7C%5Cleqslant%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%5Cright)%20%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D$ ,

$%5Cleft%7C%20%5Csin%20%5E22x%5Csin%20%204x%20%5Cright%7C%5Cleqslant%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%5Cright)%20%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D$ ,

$%5Cleft%7C%20%5Csin%20%5E24x%5Csin%20%208x%20%5Cright%7C%5Cleqslant%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%5Cright)%20%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D$ ,

……

$%5Cleft%7C%20%5Csin%20%5E22%5E%7Bn-1%7Dx%5Csin%20%202%5Enx%20%5Cright%7C%5Cleqslant%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%5Cright)%20%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D$ ，

上述 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bn%7D$ 式相乘，得

$%5Cleft%7C%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csin%20%5E2x%7D%5Csin%20%5E32x%5Csin%20%5E34x%5Ccdots%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csin%20%202%5Enx%7D%20%5Cright%7C%5Cleqslant%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%5En%7D%7B4%5En%7D%20%5Cright)%20%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D$

所以

$%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csin%20%5E3x%7D%5Csin%20%5E32x%5Csin%20%5E34x%5Ccdots%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csin%20%5E32%5Enx%7D%20%5Cright%7C%7D%7B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%7C%20%5Csin%20%20x%5Csin%20%5E22%5Enx%20%5Cright%7C%7D%7D%5Cleqslant%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%5En%7D%7B4%5En%7D%20%5Cright)%20%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D$

又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%7C%20%5Csin%20%20x%5Csin%20%5E22%5Enx%20%5Cright%7C%5Cleqslant%201%7D" alt="%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%7C%20%5Csin%20%20x%5Csin%20%5E22%5Enx%20%5Cright%7C%5Cleqslant%201%7D">，所以

$%5Cleft%7C%20%5Csin%20%5E%5Ccolor%7Bred%7D%7B3%7Dx%5Csin%20%5E%5Ccolor%7Bred%7D%7B3%7D2x%5Csin%20%5E%5Ccolor%7Bred%7D%7B3%7D4x%5Ccdots%20%5Csin%20%5E%5Ccolor%7Bred%7D%7B3%7D2%5Enx%20%5Cright%7C%5Cleqslant%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%5En%7D%7B4%5En%7D%20%5Cright)%20%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D$

所以

$%5Cleft%7C%20%5Csin%20%5E%5Ccolor%7Bred%7D%7B2%7Dx%5Csin%20%5E%5Ccolor%7Bred%7D%7B2%7D2x%5Csin%20%5E%5Ccolor%7Bred%7D%7B2%7D4x%5Ccdots%20%5Csin%20%5E%5Ccolor%7Bred%7D%7B2%7D2%5Enx%20%5Cright%7C%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B3%5En%7D%7B4%5En%7D$

自然也有

$%5Csin%20%5E2x%5Csin%20%5E22x%5Csin%20%5E24x%5Ccdots%20%5Csin%20%5E22%5Enx%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B3%5En%7D%7B4%5En%7D$

證畢.

標(biāo)簽：

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