命題3.14：

在同一圓內(nèi)，等弦的弦心距相等，弦心距相等的弦也相等

已知：圓ABDC，弦AB,CD，點E為圓心，EF⊥AB，EG⊥CD

當(dāng)AB=CD時

求證：EF=EG

解：

連接AE，CE

（公設(shè)1.1）

證：

∵點E為圓心，EF⊥AB

（已知）

∴AF=BF

（命題3.3）

∴2AF=AB

（公理1.2）

∵點E為圓心，EG⊥CD

（已知）

∴CG=DG

（命題3.3）

∴2CG=CD

（公理1.2）

∵AB=CD

（已知）

∴AF=CG

（公理1.1）

∵點E是圓ABDC的圓心

（已知）

∴AE=CE

（定義1.15）

∵EF⊥AB

（已知）

∴∟AFE是直角

（定義1.10）

∴Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2

（命題1.47）

∴EF2=CE2+CG2

（公理1.1）

∵EG⊥CD

（已知）

∴∟CGE是直角

（定義1.10）

∴Rt△CEG中，EG2=CE2+CG2

（命題1.47）

∴EF2=EG2

（公理1.1）

∴EF=EG

當(dāng)EF=EG時

求證：AB=CD

解：

同理可證，

AF=CG

Rt△AEF中，AF2=EF2-AE2，

Rt△CEG中，CG2=EG2-CE2

?證:

∵EF=EG

（已知）

∴AF2=CG2

（公理1.1）

∴AF=CG

∴2AF=2CG

（公理1.2）

∵2AF=AB，2CG=CD

（已證）

∴AB=CD

（公理1.1）

證畢

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