【菲赫金哥爾茨微積分學(xué)教程精讀筆記Ep53】第三波習(xí)題繼續(xù)進(jìn)行
我們先復(fù)習(xí)一下實數(shù)完備性第二個定理的內(nèi)容：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。
我們把這個定理換一種更好應(yīng)用的方式表述——單增有上界數(shù)列必有極限，單減有下界數(shù)列必有極限。
而這個定理常常會用到的地方——
典型能看出來單調(diào)的數(shù)列，比如我們學(xué)到后面的正項級數(shù)收斂的判定法中，就有這條定理的應(yīng)用；
考試的時候，如果遇到“證明XXX迭代數(shù)列是收斂的”優(yōu)先考慮能不能用這個定理——迭代數(shù)列是拿一個數(shù)列的前若干項表示an的方式，比如最簡單的迭代數(shù)列a1=1，an=an-1+1就是首項為1，公差為1的等差數(shù)列。
這個定理的用法也很簡單——
判斷迭代數(shù)列是否單調(diào)？——是，進(jìn)第2步，否，考慮其他辦法；
判斷迭代數(shù)列是否有界？——是，進(jìn)第3步，否，則數(shù)列發(fā)散；
由1、2可知數(shù)列是有極限a的，那么我們令n趨向于無窮大，就可以得到一個關(guān)于極限a的方程，解出方程即可得到極限a。
我們在Ep27聊過幾個常用的不等式，其中最后一個是均值不等式，該不等式涉及到四個均值——
我們一般前三個就夠用了。
今天我們聊的例題就與其中的幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)有關(guān)。
35例題
4.等差-等比中項——
用算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)構(gòu)造兩個數(shù)列{an}和{bn}，給定正數(shù)b<a，a1=（a+b）/2，b1=（a+b）^（1/2），……，an=（an-1+bn-1）/2，bn=（an-1bn-1）^（1/2），分析過程——
由均值不等式知，對任意n，bn<an；
顯然，ak是ak-1和bk-1的中點(diǎn)，所以bk-1<ak<ak-1，即數(shù)列{an}為單減數(shù)列；
而bk-1=（bk-1^2）^（1/2）<（ak-1bk-1）^（1/2）<（ak-1^2）^（1/2）=ak-1，即bk-1<bk<ak-1，即數(shù)列{bn}為單增數(shù)列；
由1、2、3知，b<bn<an<a，則數(shù)列{an}和{bn}都是有界數(shù)列；
由“單調(diào)有界原理”知，數(shù)列{an}和{bn}都有極限A和B；
我們令迭代公式兩側(cè)n趨向于無窮大，即lim an=lim（an-1+bn-1）/2=（lim an-1+lim?bn-1）/2，即A=（A+B）/2，得到A=B；
或者lim?bn=lim（an-1bn-1）^（1/2）=（lim an-1 lim?bn-1）^（1/2），即B=（AB）^（1/2），得到A=B；
所以，這兩個序列有公共極限M，我們稱之為“等差-等比中項”。
?5.等差-調(diào)和中項——
用算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)構(gòu)造兩個數(shù)列{an}和{bn}，給定正數(shù)b<a，a1=（a+b）/2，b1=2/（1/a+1/b）=2ab/（a+b），……，an=（an-1+bn-1）/2，bn=2an-1bn-1/（an-1+bn-1），分析過程——
由均值不等式知，對任意n，bn<an；
顯然，ak是ak-1和bk-1的中點(diǎn)，所以bk-1<ak<ak-1，即數(shù)列{an}為單減數(shù)列；
而bk-1=2/（1/bk-1+1/bk-1）<2/（1/ak-1+1/bk-1）<2/（1/ak-1+1/ak-1）=ak-1，即bk-1<bk<ak-1，即數(shù)列{bn}為單增數(shù)列；
由1、2、3知，b<bn<an<a，則數(shù)列{an}和{bn}都是有界數(shù)列；
由“單調(diào)有界原理”知，數(shù)列{an}和{bn}都有極限A和B；
我們令迭代公式兩側(cè)n趨向于無窮大，即lim an=lim（an-1+bn-1）/2=（lim an-1+lim?bn-1）/2，即A=（A+B）/2，得到A=B；
或者lim?bn=lim 2an-1bn-1/（an-1+bn-1）=2（lim an-1?lim?bn-1）/（lim an-1+lim bn-1），即B=2AB/（A+B），得到A=B；
所以，這兩個序列有公共極限C，我們稱之為“等差-調(diào)和中項”。
明天繼續(xù)！
