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函數項級數

一：要研究的核心問題

1.定義域

2.前面講過的連續(xù)性、可積、可導（可微）都屬于分析性質，研究函數項級數就是研究它的這些性質。（例如注意到d/dx是線性的前提是有限項）

3.各種算子的換序問題。本節(jié)主要研究與極限算子、與積分算子、與求導算子的換序問題，即逐項求極限、逐項求積分、逐項求導問題。

如果可以換序（或者說可以逐項求），則可以把非初等函數的極限導數積分等轉化為初等函數的極限導數積分。

有可能不成立，這再次說明無限跟有限不一樣。（甚至Cauchy都犯了錯誤）

二.

4.函數項級數相當于，二元，通過某算子“坍縮”一個變量，來定義一元函數。類似的，變限積分、lim(y→y?) f(x,y)、∫? f(x,y)dy，本質都是如此。

5.數列和數項級數相對應；

同理，函數列和函數項級數相對應。（可以形成雙射）

所以理論上只要證明其一就可以。

事實上，證明定理的時候用函數列方便，應用的時候用函數項級數方便。

三.細節(jié)

6.討論收斂點集，端點容易忽略，但是不簡單。

7.把實數跟常值函數區(qū)分開。常值函數指的自變量任意取，函數值都取同一個常數。