引理? 設(shè)X是正規(guī)空間，則?

? （1）對(duì)X的任意點(diǎn)有限的開覆蓋U=【Us；s∈S】存在一個(gè)開收縮ν=【νs；s∈S】滿足條件；對(duì)任意的s∈S，clνs?Us?

? （2）對(duì)X的任意有限閉集族F=【Fi；i=1，…，K】及開集族U=【Ui；i=1，…，K】若對(duì)任意的i≤K，F(xiàn)i?Ui，則存在一個(gè)開集族ν=【νi；i=1,…，K】使得Fi?νi?clνi?Ui且【clνi；i=1,…，K】是F的一個(gè)膨脹。

利用上述引理，我們能得到覆蓋維數(shù)的下面等價(jià)形式

定理

設(shè)X是正規(guī)空間，則下列條件等價(jià)；

a? dimX≤n;

b? X的任意有限開覆蓋U=【U1，U2，…Uk】 都存在一個(gè)開收縮 V =【V1，V2，…Vk】使得ordV≤n? ?且對(duì)任意的i≤k，clVi?Ui

c? X的任意由n+2個(gè)元組成的開覆蓋U=【U1，U2，…Un+2】都存在一個(gè)開收縮V=【V1，V2，…Vn+2】使得 V1 ∩ V2 ∩ V3…∩ Vn+2=Φ;

d? X的任意有限開覆蓋都存在一個(gè)秩小于等于n的閉收縮。

可數(shù)和定理? ?設(shè)X是正規(guī)空間，n是自然數(shù)。若X=F1∪F2∪…F∞，這里Fi是X中的閉集且dimFi≤n（i=1,2,…∞)，則dimX≤n。