利用第三定義進(jìn)行“對(duì)稱化改造”（2020課標(biāo)Ⅰ圓錐曲線）
2022-07-11 10:42 作者:數(shù)學(xué)老頑童 | 我要投稿
（2020課標(biāo)Ⅰ，20）已知?
、
分別為橢圓
：
（
）的左、右頂點(diǎn)，
為
.
為直線
上的動(dòng)點(diǎn)，
與
，
與
.
（1）求
（2）證明：直線
過(guò)定點(diǎn).
解：（1）易知、
、
的坐標(biāo)分別為
、
、
，
故，
，
故，
解得，
故的方程為
.
（2）先畫個(gè)圖
設(shè)，則
，
，
所以……（
）
設(shè)、
，
易知，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即……（
）
（橢圓的第三定義）
由（）、（
）可知
.
故原命題轉(zhuǎn)化為：
已知，證明：直線
過(guò)定點(diǎn).
下面是證明過(guò)程（方法：齊次化聯(lián)立）
的方程可改寫為
，
進(jìn)一步整理
，
設(shè)直線的方程為
，
與聯(lián)立，得
，
展開(kāi)
，
并項(xiàng)
，
各項(xiàng)同除以，得
，
由，
解得，
故直線的方程為
，
令，則
，
故直線過(guò)定點(diǎn)
.
標(biāo)簽：
