即

冪平均不等式

之證明

令

F(x）=xlnx

G(x)=ln((x1^x+x2^x+...+xn^x）/n）/x

H(x)=((x1^x+x2^x+...+xn^x）/n）^(1/x)

F''(x）=1/x

又

x∈(0，+∞)

即

F''(x）＞0

令

a1，a2，...，an不盡相等

有

(a1lna1+a2lna2+

...+anlnan）

/n

-

(a1+a2+...+an）/n

ln((a1+a2+...+an）/n）

＞0

即

(a1lna1+a2lna2+

...+anlnan）

/(a1+a2+...+an）

-

ln((a1+a2+...+an）/n）

＞0

即

(x1^xlnx1^x+x2^xlnx2^x+

...+xn^xlnxn^x）

/(x1^x+x2^x+...+xn^x）

-

ln((x1^x+x2^x+...+xn^x）/n）

＞0

即

G'(x)＞0

即

H(x)

=e^G(x)

單增

即

若

α＞β

有

((x1^α+x2^α+...+xn^α）/n）^(1/α)

＞((x1^β+x2^β+...+xn^β）/n）^(1/β)

得證

ps.

有關(guān)那條
是那什么
還想立牌坊的

“秒殺大招”

發(fā)視頻的
無恥行徑
詳見
CV10088620