天體力學(xué)：為什么是橢圓

2022-10-23 05:22 作者:空山泠語 0人讀過 | 我要投稿

1.開普勒第一定律

上回說到，由天體運(yùn)動的橢圓性質(zhì)（即直接利用開普勒第一定律），我們可以由機(jī)械能守恒定律和角動量守恒定律推導(dǎo)出開普勒第二定律和第三定律，為了文章的簡潔性而跳過了第一定律。為了體系的完整性，接下來，我們來單獨(dú)講講開普勒第一定律（前方公式預(yù)警(≧?≦)/）

2.有心力及其勢能

在談開普勒第一定律前，我們先來看一個概念：有心力，這種力有一個特殊的性質(zhì)：有心力的作用線始終過一定點(diǎn)，也就是說，物體所受的有心力始終指向（或背離）空間中某個確定的點(diǎn)，這個定點(diǎn)我們稱它為力心，常見的萬有引力和點(diǎn)電荷間的相互作用就是具有這種性質(zhì)的力。我們不妨令這個力的表達(dá)式為 $%5Cvec%7BF%7D%20%EF%BC%9D%5Cvec%7BF%7D%20%EF%BC%88%5Cvec%7Br%7D%20%EF%BC%89$ ，式中r為以力心為極點(diǎn)建立的極坐標(biāo)系下到場點(diǎn)的極徑，我們規(guī)定：當(dāng)F＞0時，其方向徑向向外，當(dāng)F＜0時，其方向徑向向內(nèi)指向力心， $e_%7Br%7D%20%EF%BC%8Ce_%7B%5Cvarphi%20%7D%20$ 分別為徑向、橫向的單位矢量。如果這種有心力的表達(dá)式很好（好到什么程度呢，它真的就只是r的單值函數(shù)，如k／r，kr一類的形式），我們完全可以定義一個有心力勢能（可以證明，這類力場是保守力場，其場力對物體做的功和路徑無關(guān)，即其旋度為零） $V%EF%BC%88r%EF%BC%89$ ，類比重力勢能，保守力做正功，物體勢能減少，保守力做負(fù)功，物體勢能增加，在距力心r～r＋dr的距離處，我們近似F（r）恒定，其在這個微小矢徑變化過程中做的功為 $dW%EF%BC%9D-dV%EF%BC%88r%EF%BC%89%EF%BC%9D%5Cvec%7BF%7D%20%EF%BC%88%5Cvec%7Br%7D%20%EF%BC%89%5Ccdot%20%5Cvec%7Bdr%7D%20$ ，由此得到F（r）的大?。?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=F%EF%BC%88r%EF%BC%89%EF%BC%9D-%5Cfrac%7BdV%7D%7Bdr%7D%20" alt="F%EF%BC%88r%EF%BC%89%EF%BC%9D-%5Cfrac%7BdV%7D%7Bdr%7D%20"/>，實(shí)際上，更一般性的表達(dá)式可以寫成： $%5Cvec%7BF%7D%EF%BC%88%5Cvec%7Br%7D%20%EF%BC%89%20%EF%BC%9D-%E2%96%BDV%EF%BC%88r%EF%BC%89$ ，即某點(diǎn)勢能對空間的梯度負(fù)值即為該點(diǎn)上該物體所受的場力。這個事情再接下來的推導(dǎo)中也會用到。

既然我們要證天體的軌道是一個橢圓，那么由于橢圓是一個平面圖形，接下來我們首先要證明受僅有心力的物體必然在一確定的平面上運(yùn)動。若某有心力場內(nèi)有一質(zhì)點(diǎn)m，其矢徑為r，

我們用牛頓定律給出F（r）的表達(dá)式： $%5Cvec%7BF%7D%20%EF%BC%88%5Cvec%7Br%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%9Dm%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7Bv%7D%20%7D%7Bdt%7D%20%EF%BC%9D%20F%EF%BC%88r%EF%BC%89e_%7Br%7D%20$ ， $%5Cvec%7Br%7D%20%EF%BC%9Dre_%7Br%7D%20$ ，我們不難發(fā)現(xiàn)它們具有相同的單位矢量項，由于個同向矢量叉積為零的特殊性質(zhì)，我們對r和F進(jìn)行矢量叉乘： $%5Cvec%7Br%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BF%7D%20%EF%BC%9DrF%EF%BC%88e_%7Br%7D%20%5Ctimes%20e_%7Br%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%9D%5Cvec%7B0%7D%20$ ，即： $m%5Cvec%7Br%7D%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7Bv%7D%20%7D%7Bdt%7D%20%EF%BC%9Dm%5Cvec%7Br%7D%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7Bv%7D%20%7D%7Bdt%7D%20%EF%BC%8Bm%5Cvec%7Bv%7D%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7Br%7D%20%7D%7Bdt%7D%20%EF%BC%9Dm%5Cfrac%7Bd%EF%BC%88%5Cvec%7Bv%7D%5Ctimes%5Cvec%7Br%7D%20%20%EF%BC%89%20%7D%7Bdt%7D%20%EF%BC%9D%5Cvec%7B0%7D%20$ （為了湊出全微分，我們增加了第2項v*dr／dt，而dr／dt正好是速度v的標(biāo)準(zhǔn)定義，故v*v＝0，這相當(dāng)于第2項是“白送”給我們的）這就證明了 $%5Cvec%7Bv%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Br%7D%20$ 是某個常矢量 $%5Cvec%7Bh%7D%20%EF%BC%9D%5Cvec%7Bconst%7D%20$ ，即v和r始終在以h為一個法向量確定的平面內(nèi)，既然平面的法向量不變，則平面的位置隨之確定。故前述命題得證。

3.比耐方程

搞定了平面的問題，現(xiàn)在我們開始正式推導(dǎo)天體的軌跡方程

在力心－質(zhì)點(diǎn)的體系下，我們由機(jī)械能守恒定律首先可以得到這樣的表達(dá)式： $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20m%5Cdot%7Br%7D%20%5E2%EF%BC%8B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20mr%5E2%20%5Cdot%7B%5Cvarphi%20%7D%20%5E2%EF%BC%8BV%EF%BC%88r%EF%BC%89%EF%BC%9DE$ ，式中E是質(zhì)點(diǎn)的總機(jī)械能，（ $%5Cdot%7Br%7D%EF%BC%8C%20%5Cdot%7B%5Cvarphi%20%7D%20$ 代表變量對時間求導(dǎo)，其分別為徑向速度和角速度），由守恒量 $%5Cvec%7Bh%7D%20$ 的定義，令： $h%EF%BC%9D%5Cvert%20%5Cvec%7Bh%7D%20%20%5Cvert%20%EF%BC%9Dr%5E2%5Cdot%7B%5Cvarphi%20%7D%20%EF%BC%9Dconst$ ，為了簡化變量，我們對dr／dt項進(jìn)行處理： $%5Cfrac%7Bdr%7D%7Bdt%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7Bdr%7D%7Bd%5Cvarphi%20%7D%20%5Cfrac%7Bd%5Cvarphi%20%7D%7Bdt%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7Bdr%7D%7Bd%5Cvarphi%20%7D%20%5Cdot%7B%5Cvarphi%20%7D%20$ ，將上式和守恒量h代入能量表達(dá)式，得到： $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%EF%BC%88%5Cfrac%7Bdr%7D%7Bd%5Cvarphi%20%7D%20%EF%BC%89%5E2%5Cdot%7B%5Cvarphi%20%7D%20%5E2%EF%BC%8B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20r%5E2%5Cdot%7B%5Cvarphi%20%7D%20%5E2%EF%BC%9D%5Cfrac%7Bh%5E2%20%7D%7B2r%5E4%20%7D%EF%BC%88%20%5Cfrac%7Bdr%7D%7Bd%5Cvarphi%20%7D%20%EF%BC%89%5E2%EF%BC%8B%5Cfrac%7Bh%5E2%20%7D%7B2r%5E2%20%7D%20%EF%BC%8B%5Cfrac%7BV%EF%BC%88r%EF%BC%89%7D%7Bm%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7BE%7D%7Bm%7D%20$ ，接下來即是解出這個微分方程的關(guān)鍵一步：我們注意到這個式子的分母都含r＾4或r＾2，于是乎考慮換元，令 $%5Crho%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D%20$ ，則 $d%5Crho%20%EF%BC%9D-%5Cfrac%7B1%7D%7Br%5E2%7D%20dr$ ，再代入上式： $%5Cfrac%7Bh%5E2%20%7D%7B2%7D%20%5Crho%20%5E4%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%20%5E4%20%7D%20%EF%BC%88%5Cfrac%7Bd%5Crho%20%7D%7Bd%5Cvarphi%20%7D%20%EF%BC%89%5E2%EF%BC%8B%5Cfrac%7Bh%5E2%20%7D%7B2%7D%5Crho%20%5E2%EF%BC%8B%5Cfrac%7BV%EF%BC%88r%EF%BC%89%7D%7Bm%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7BE%7D%7Bm%7D%20$ ，為了消去常量E，我們對上式子兩邊對 $%5Cvarphi%20$ 求一階導(dǎo)數(shù)，有： $h%5E2%EF%BC%88%5Cfrac%7Bd%5Crho%20%7D%7Bd%5Cvarphi%20%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%88%5Cfrac%7Bd%5E2%5Crho%20%20%7D%7Bd%5Cvarphi%20%5E2%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%8Bh%5E2%5Crho%20%EF%BC%88%5Cfrac%7Bd%5Crho%20%7D%7Bd%5Cvarphi%20%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%8B%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%7D%20%5Cfrac%7BdV%7D%7Bdr%7D%20%5Cfrac%7Bdr%7D%7Bd%5Crho%20%7D%20%EF%BC%9D0$ ，注意到 $%5Cfrac%7BdV%7D%7Bdr%7D%20%EF%BC%9D-F$ ，上式即： $h%5E2%EF%BC%88%5Cfrac%7Bd%5Crho%20%7D%7Bd%5Cvarphi%20%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%88%5Cfrac%7Bd%5E2%5Crho%20%20%7D%7Bd%5Cvarphi%20%5E2%20%7D%EF%BC%8B%5Crho%20%20%EF%BC%89%EF%BC%9D-%5Cfrac%7BF%7D%7Bm%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%20%5E2%20%7D%20$ ，由于在一般情況下，很少有

$%5Cfrac%7Bd%5Crho%20%7D%7Bd%5Cvarphi%20%7D%20%EF%BC%9D0$ ，故： $h%5E2%5Crho%20%5E2%EF%BC%88%5Cfrac%7Bd%5E%202%5Crho%20%7D%7Bd%5Cvarphi%5E2%20%7D%20%EF%BC%8B%5Crho%20%EF%BC%89%EF%BC%9D-%5Cfrac%7BF%7D%7Bm%7D%20$ ，此即有心力場中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動滿足的軌跡微分方程，亦稱比耐方程

特殊地，我們將萬有引力的表達(dá)式代入： $h%5E2%20%EF%BC%88%5Cfrac%7Bd%5E2%5Crho%20%20%7D%7Bd%5Cvarphi%20%5E2%20%7D%20%EF%BC%8B%5Crho%20%EF%BC%89%EF%BC%9DGM$ ，式中G、M、h均為常量，這是一個和矢徑和極角有關(guān)的二階線性微分方程，其通解和特解的組合即為其解： $%5Crho%20%EF%BC%9DA%5Ccos%20%5Cvarphi%20%EF%BC%8BB%5Csin%20%5Cvarphi%20%EF%BC%8B%5Cfrac%7BGM%7D%7Bh%5E2%20%7D%20$ ，式中A、B均為積分常量。由于我們可以選定恰當(dāng)?shù)臉O軸使 $%5Cvarphi%20%EF%BC%9D0$ 時， $%5Cfrac%7Bd%5Crho%20%7D%7Bd%5Cvarphi%20%7D%20%EF%BC%9D0$ ，故選定該極軸后可定出B＝0，即： $%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D%20%EF%BC%9DA%5Ccos%20%5Cvarphi%20%EF%BC%8B%5Cfrac%7BGM%7D%7Bh%5E2%5C%20%7D%20%5CRightarrow%20r%EF%BC%88%5Cvarphi%20%EF%BC%89%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bh%5E2%7D%7BGM%7D%20%7D%7B1%EF%BC%8B%5Cfrac%7BAh%5E2%7D%7BGM%7D%5Ccos%20%5Cvarphi%20%7D%20$ ，令 $p%EF%BC%9D%5Cfrac%7Bh%5E2%20%7D%7BGM%7D%20%EF%BC%8CA%EF%BC%9D%5Cfrac%7Be%7D%7Bp%7D%20$ ，其方程亦可寫為 $r%EF%BC%88%5Cvarphi%20%EF%BC%89%EF%BC%9D%5Cfrac%7Bp%7D%7B1%EF%BC%8Be%5Ccos%20%5Cvarphi%20%20%7D%20$ ，不難發(fā)現(xiàn)這是一個極坐標(biāo)下圓椎曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中p為半弦長，e為離心率。由于r的極值分別在 $%5Cvarphi%20%EF%BC%9D0$ 和 $%5Cvarphi%20%EF%BC%9D%5Cpi%20$ 處取到，故 $%5Crho%20_%7Bmax%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B1%EF%BC%8Be%7D%7Bp%7D%20%EF%BC%8C%5Crho%20_%7Bmin%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B1-e%7D%7Bp%7D%20$ ，由能量表達(dá)式有如下的一元二次方程： $-%EF%BC%88%5Cfrac%7Bd%5Crho%20%7D%7Bd%5Cvarphi%20%7D%20%EF%BC%89%5E2%EF%BC%9D%5Crho%20%5E2-%5Cfrac%7B2GM%7D%7Bh%5E2%7D%20%5Crho%20-%5Cfrac%7B2E%7D%7Bmh%5E2%20%7D%20%EF%BC%9D0$ ，上述方程的2個根即為 $%5Crho%20$ 的2個極值，故由韋達(dá)定理： $%5Crho%20_%7Bmax%7D%EF%BC%8B%5Crho%20_%7Bmin%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B2%7D%7Bp%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B2GM%7D%7Bh%5E2%20%7D%20%EF%BC%8C%5Crho%20_%7Bmax%7D%20%5Ccdot%20%5Crho%20_%7Bmin%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B1-e%5E2%7D%7Bp%5E2%20%7D%20%EF%BC%9D-%5Cfrac%7B2E%7D%7Bmh%5E2%7D%20$ ，由上面2式得到天體運(yùn)動的最終表達(dá)式： $r%EF%BC%88%5Cvarphi%20%EF%BC%89%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bmh%5E2%7D%7BGM%7D%20%7D%7B1%EF%BC%8B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2Eh%5E2%7D%7BG%5E2M%5E2%7D%20%EF%BC%8B1%7D%20%5Ccos%20%5Cvarphi%20%7D%20$ ，由此可知，天體的運(yùn)動形式完全由初值條件E和h確定，當(dāng)離心率 $e%E2%88%88%EF%BC%88%200%EF%BC%8C1%EF%BC%89$ 時，天體的運(yùn)動軌跡是橢圓。當(dāng)然啦，還有可能是拋物線、雙曲線。

4.結(jié)語

上面我們已經(jīng)通過比耐方程和萬有引力定律推導(dǎo)出了開普勒第一定律。事實(shí)上，在物理學(xué)史上卻正好相反：先是有了第谷的觀測數(shù)據(jù)和開普勒的三大定律，后才有牛頓憑借他強(qiáng)大的數(shù)學(xué)能力在現(xiàn)象中建立模型并推導(dǎo)出了萬有引力的表達(dá)式。人類對宇宙的探索就是這樣一個接力的過程，而在這個過程的后期，我們往往才能看清楚現(xiàn)象的物理學(xué)本質(zhì)。物理學(xué)或許會經(jīng)歷一短相對停滯的發(fā)展時期，但物理人的征途，永遠(yuǎn)是無邊際、令人向往的星辰大海

標(biāo)簽：物理天體物理力學(xué)開普勒三定律比耐方程天文學(xué)角動量橢圓中學(xué)物理橢圓定律

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天體力學(xué)：為什么是橢圓

1.開普勒第一定律

2.有心力及其勢能

3.比耐方程

4.結(jié)語