接下來(lái)將為你介紹的是最后一種魚(yú)結(jié)構(gòu)，之所以放在最后講，是因?yàn)檫@種結(jié)構(gòu)難度非常大，而且有一些基本定式無(wú)法滿足，所以刪數(shù)的方式和原理有一些別扭。

試想一下，我們之前學(xué)到的魚(yú)結(jié)構(gòu)，定義域區(qū)域數(shù)和刪除域區(qū)域數(shù)是相同的，即一樣多的，這種結(jié)構(gòu)我們完全可以拿著它就可以用來(lái)刪數(shù)，因?yàn)楫吘惯@種結(jié)構(gòu)刪數(shù)的原理已經(jīng)通過(guò)理論嚴(yán)格證明了，只要滿足全覆蓋和區(qū)域數(shù)一致的要求，就可以刪數(shù)。那么，有沒(méi)有可能讓定義域區(qū)域數(shù)比刪除域區(qū)域數(shù)多，或者刪除域區(qū)域數(shù)比定義域區(qū)域數(shù)多，但依舊全覆蓋的情況呢？那么如果有，又應(yīng)該如何刪數(shù)呢？本節(jié)就會(huì)討論全覆蓋要求下，定義域區(qū)域數(shù)和刪除域區(qū)域數(shù)不一樣多的時(shí)候的刪數(shù)情況。這種魚(yú)結(jié)構(gòu)稱為不飽和魚(yú)（Unsaturated Fish）。

Part 1 不飽和魚(yú)的形成和原理

在進(jìn)入正文技巧內(nèi)容的學(xué)習(xí)之前，我們先要掌握一個(gè)理論概念——秩（Rank）。這個(gè)詞匯實(shí)際上來(lái)自于線性代數(shù)里的矩陣的秩。這個(gè)詞被套用到魚(yú)結(jié)構(gòu)里，又有什么特殊的用法和用途呢？

1-1?秩的概念

我們?cè)谥暗膬?nèi)容里，提到過(guò)一個(gè)情況：自噬。在自噬的內(nèi)容里，我們說(shuō)到過(guò)，當(dāng)魚(yú)的定義域和刪除域區(qū)域總數(shù)相同，而且還全覆蓋的時(shí)候，魚(yú)是可以刪數(shù)的；而如果魚(yú)的某一部分位于兩個(gè)刪除域區(qū)域的交集上，而位于一個(gè)定義域區(qū)域的交集的話，假設(shè)它填入后，它會(huì)同時(shí)使得兩個(gè)刪除域區(qū)域消失，一個(gè)定義域區(qū)域消失，致使定義域區(qū)域數(shù)少于刪除域區(qū)域數(shù)，這樣的話，填數(shù)就不再平衡了，因?yàn)槎x域必須保證放入(n - 1)個(gè)數(shù)，而刪除域卻必須保證最多放(n - 2)個(gè)數(shù)。這個(gè)最多放入的總個(gè)數(shù)竟然比必須放入的總個(gè)數(shù)還要少，所以出現(xiàn)了矛盾。

那么我們嘗試把這種說(shuō)法包裝一下。我們使用刪除域區(qū)域總數(shù)減去定義域區(qū)域總數(shù)，減下來(lái)的這個(gè)差值稱為魚(yú)結(jié)構(gòu)的秩。那么上述內(nèi)容就變?yōu)檫@樣：當(dāng)某個(gè)結(jié)構(gòu)滿足全覆蓋要求，而且秩為0的時(shí)候，魚(yú)就可以刪數(shù)了；而如果某一處位置填入后導(dǎo)致秩為-1（(n - 2) - (n - 1) = -1）的時(shí)候，出現(xiàn)矛盾。

這便就是秩的一個(gè)基本的敘述模式?？梢钥吹?，有了這個(gè)說(shuō)法之后，前面的說(shuō)辭就會(huì)簡(jiǎn)化一些了。

1-2?所以，前文都是在講秩為0的魚(yú)？

是的，前文介紹的內(nèi)容都是秩為0的魚(yú)結(jié)構(gòu)，因?yàn)閯h除域區(qū)域數(shù)和定義域區(qū)域數(shù)是相同的，所以減下來(lái)的差值必然為0。

但請(qǐng)注意，前文所說(shuō)的是“區(qū)域數(shù)相同，則秩為0”，而秩為0的結(jié)構(gòu)不代表一定能在所有刪除域進(jìn)行刪數(shù)。我們之前發(fā)現(xiàn)的所有秩為0的魚(yú)結(jié)構(gòu)是可以刪數(shù)的，這是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)涉及了全覆蓋，且每一個(gè)候選數(shù)都只被使用過(guò)一次，但有些時(shí)候，某個(gè)（或某些）候選數(shù)將會(huì)被重復(fù)使用，此時(shí)的分析將會(huì)更復(fù)雜一些，而這一點(diǎn)在后續(xù)的一些例題里會(huì)出現(xiàn)。

1-3 那么，秩可以為負(fù)數(shù)嗎？

可以從剛才的說(shuō)法里看到，一個(gè)結(jié)構(gòu)是不允許秩為負(fù)數(shù)的，哪怕剛才說(shuō)到的-1，也是不允許的；比如秩為-2則表示的是定義域區(qū)域數(shù)只有(n - 1)個(gè)，但是刪除域區(qū)域數(shù)卻只有(n - 3)個(gè)。定義域保證結(jié)構(gòu)還必須填入(n - 1)個(gè)x，但刪除域保證最多還只能放(n - 3)個(gè)x。顯然，只要后面這個(gè)數(shù)值（即最多能放置的個(gè)數(shù)）如果比前面這個(gè)數(shù)（即必須放置的）要小，不管小多少，就一定會(huì)矛盾。因?yàn)槲覀儫o(wú)法達(dá)成這里給出的要求。

那么用秩的說(shuō)法就是，一個(gè)魚(yú)結(jié)構(gòu)的秩必須大于或等于0才有效，即使無(wú)法刪數(shù)，或者其它原因沒(méi)有刪數(shù)，但起碼不會(huì)像是秩為負(fù)數(shù)那樣立刻矛盾。

1-4?好了，秩可以怎么用呢？

所以，我們可以基于這一點(diǎn)，產(chǎn)生一些有關(guān)秩這個(gè)理論的一些基礎(chǔ)用法。我們把魚(yú)作一個(gè)推廣。之前我們要求的魚(yú)的定義域區(qū)域數(shù)要必須等于刪除域區(qū)域數(shù)，是為了保證魚(yú)內(nèi)部的所有刪除域都是有效的。但如果我們沒(méi)有必要?jiǎng)h除那么多，或者目的并非是找這種刪數(shù)多的魚(yú)的時(shí)候，或者甚至是根本找不到刪數(shù)多的魚(yú)結(jié)構(gòu)的時(shí)候，我們可以試試找找，刪除域區(qū)域數(shù)比定義域區(qū)域數(shù)多的魚(yú)結(jié)構(gòu)。

當(dāng)刪除域區(qū)域數(shù)比定義域區(qū)域數(shù)多，那么這個(gè)差值，即魚(yú)的秩一定就會(huì)大于0，雖然我們不能得到結(jié)論，但是起碼它不是負(fù)數(shù)，就意味著結(jié)構(gòu)是可能成立的，只是刪數(shù)不知道在哪里罷了。

那么總的來(lái)說(shuō)，不飽和魚(yú)結(jié)構(gòu)的使用方式是這樣的。我們?nèi)绻业揭粋€(gè)結(jié)構(gòu)，經(jīng)過(guò)全覆蓋要求后發(fā)現(xiàn)刪除域區(qū)域比定義域區(qū)域多，就算找到了不飽和魚(yú)結(jié)構(gòu)。此時(shí)只要我們找到某一處位置，假設(shè)它填入后，能使得魚(yú)的剩余結(jié)構(gòu)的秩變?yōu)樨?fù)數(shù)時(shí)，我們就可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)產(chǎn)生矛盾了，故原假設(shè)錯(cuò)誤，刪掉它。

實(shí)際上，在有時(shí)候不一定能立刻找到秩為負(fù)數(shù)的矛盾，因?yàn)橛行r(shí)候結(jié)構(gòu)秩看起來(lái)為0，實(shí)際上并不是真正的0。這些結(jié)構(gòu)都非常麻煩，而且大多數(shù)例子直接使用秩來(lái)理解都不是很方便，反而還不如通過(guò)代入試填來(lái)推導(dǎo)矛盾來(lái)得快。所以在有些時(shí)候，試填和利用同數(shù)技巧來(lái)獲得結(jié)構(gòu)內(nèi)部的矛盾的過(guò)程，稱為飽和性測(cè)試（Saturation Test）。雖說(shuō)試填有一些暴力，但依舊通過(guò)邏輯層面推導(dǎo)，所以在邏輯層面，我們是可以接受的。下面我們將拿出眾多的示例給大家分析。

那么我們嘗試使用這個(gè)方式來(lái)理解一些常見(jiàn)的不飽和魚(yú)結(jié)構(gòu)吧。

Part 2?不飽和魚(yú)的示例

2-1?不飽和四鏈列

如圖所示，我們嘗試找到c1389的所有數(shù)字6，并尋找新的區(qū)域來(lái)執(zhí)行全覆蓋要求。可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)我們找到了r13589b4一共6個(gè)區(qū)域，才覆蓋完所有的數(shù)字。一般來(lái)說(shuō)，我們都會(huì)去刪除域上找刪數(shù)，所以此時(shí)我們對(duì)于每一個(gè)刪除域上的含有候選數(shù)6的單元格執(zhí)行假設(shè)操作。

此時(shí)發(fā)現(xiàn)，假設(shè)r5c2 = 6的時(shí)候，我們將有下圖這樣的構(gòu)型。

如圖所示，這樣的構(gòu)型好像看似沒(méi)有什么問(wèn)題，因?yàn)槎x域區(qū)域依舊是4個(gè)，而刪除域區(qū)域則變?yōu)榱?個(gè)。雖然變少了，但是刪除域區(qū)域數(shù)依舊和定義域區(qū)域數(shù)一樣多，起碼它并非變?yōu)橹刃∮?的情況，即定義域區(qū)域比刪除域區(qū)域數(shù)量還多的情況。不過(guò)請(qǐng)你注意一個(gè)地方。由于我們假設(shè)到r5c2 = 6的時(shí)候，結(jié)構(gòu)剩下的部分變?yōu)榱艘粋€(gè)看起來(lái)很像是四鏈列的構(gòu)型?？雌饋?lái)雖然沒(méi)有什么異樣，但請(qǐng)你仔細(xì)思考一下，這個(gè)結(jié)構(gòu)真的存在嗎？我們可以發(fā)現(xiàn)到的是，不論你怎么放置這些填數(shù)，任取其中三處填入，最終都必然會(huì)有一個(gè)定義域區(qū)域無(wú)法填數(shù)，這便產(chǎn)生了矛盾。可你會(huì)問(wèn)，這是為什么呢？

我們嘗試盡量使用簡(jiǎn)單的思路來(lái)解釋。我們可以通過(guò)結(jié)構(gòu)找到兩條摩天樓結(jié)構(gòu)，且它們共用一個(gè)定義域區(qū)域作為強(qiáng)關(guān)系產(chǎn)生的區(qū)域。之所以這么做，是為了后面證明出現(xiàn)矛盾作出鋪墊。

我們可以觀察圖上的兩種填數(shù)模式，就可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)已經(jīng)產(chǎn)生了不對(duì)勁。左圖的刪數(shù)和右圖的刪數(shù)能夠?qū)?yīng)到c9的唯一的兩處填數(shù)位置，而這兩處位置都被刪除了。這便使得c9就不能填數(shù)了。因?yàn)殒準(zhǔn)峭瑫r(shí)可以成立的，所以刪數(shù)也都是同時(shí)成立的。而刪數(shù)導(dǎo)致了c9無(wú)法填入6，所以出錯(cuò)。

那么既然錯(cuò)誤了，這便就說(shuō)明了這樣的結(jié)構(gòu)不存在，就得到了原本的假設(shè)（r5c2 = 6的說(shuō)法）自然就是錯(cuò)誤的了，所以r5c2 <> 6。

可是你會(huì)思考，這也只能說(shuō)明這一個(gè)例子才能滿足這個(gè)要求，而其它的例子不一定。實(shí)際上，其它的例子也都符合這種要求，只要我們能形成上述形狀的構(gòu)型的話。由于結(jié)構(gòu)的特殊性，結(jié)構(gòu)只會(huì)涉及8個(gè)單元格，而且8個(gè)單元格分屬于四行四列，且兩個(gè)一組，出現(xiàn)在同一個(gè)并排三宮里。這句話有點(diǎn)繞，具體的意思指的是，比如c13這兩處定義域區(qū)域，它們都處于b147這樣并排的三個(gè)宮里；同理，c89也是一樣。這樣一來(lái)，我們還有c1389都是共軛對(duì)這一個(gè)條件，這就使得結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了非常多的摩天樓，并且能互相刪除自己的某一個(gè)端點(diǎn)。當(dāng)我們給出的鏈合適時(shí)，刪除的位置就應(yīng)當(dāng)會(huì)排除掉同一個(gè)定義域區(qū)域下的所有情況，使得結(jié)構(gòu)出錯(cuò)。

可能你還是有問(wèn)題的地方在于，定義域區(qū)域數(shù)和刪除域區(qū)域數(shù)此時(shí)是一致的，那么秩為0，根據(jù)理論，秩為0的結(jié)構(gòu)是可以直接把刪除域區(qū)域的所有位置都看作刪數(shù)的地方來(lái)刪數(shù)的，可這個(gè)例子怎么就不行了呢。實(shí)際上，我們?cè)谡撟C摩天樓存在和刪數(shù)的時(shí)候，用到了過(guò)多的定義域區(qū)域來(lái)論證：首先，我們用到了四個(gè)定義域區(qū)域，是結(jié)構(gòu)本身存在的；而b13是隱藏的，因?yàn)閎13在6排除了r1389c2(6)的刪數(shù)。所以，定義域區(qū)域比刪除域區(qū)域數(shù)還多2個(gè)，所以秩為-2，導(dǎo)致矛盾的出現(xiàn)，而b13實(shí)際上我們?cè)诮Y(jié)構(gòu)論證矛盾（就是剛才摩天樓技巧的互相刪數(shù)那里）是用到了它的，要不你自己獨(dú)立想一想？

接下來(lái)我們?cè)賮?lái)看一則不飽和四鏈列的示例。

如圖所示，這個(gè)結(jié)構(gòu)看起來(lái)比較簡(jiǎn)單，但刪數(shù)很“離奇”：不飽和魚(yú)按道理是通過(guò)假設(shè)得到的刪數(shù)結(jié)論，而這個(gè)例子卻巧合地刪除了四個(gè)數(shù)字之多。下面我們就來(lái)挨個(gè)進(jìn)行分析和討論。

假如r6c2 = 7，則c2和b4兩個(gè)刪除域區(qū)域就會(huì)由于填數(shù)假設(shè)而直接被去掉，但這個(gè)假設(shè)并不會(huì)影響到任何定義域區(qū)域（當(dāng)然，b7此時(shí)可以出數(shù)，但是我們考慮通過(guò)秩的邏輯來(lái)說(shuō)明，所以這里我們不繼續(xù)往下假設(shè)）。

顯然，定義域區(qū)域數(shù)依舊是4個(gè)，但刪除域區(qū)域數(shù)變?yōu)榱?個(gè)（原本有5個(gè)，但c2和b4消失，所以只剩下3個(gè)）。但是，此時(shí)刪除域區(qū)域數(shù)比定義域區(qū)域數(shù)還少，秩為-1。我們說(shuō)過(guò)，秩為負(fù)的時(shí)候，結(jié)構(gòu)出錯(cuò)，所以這個(gè)結(jié)構(gòu)便產(chǎn)生了矛盾。故r6c2 <> 7。

而其余三個(gè)刪數(shù)，是通過(guò)普通魚(yú)的視角得到的，這一點(diǎn)其實(shí)在之前的例子里已經(jīng)說(shuō)明了它們的刪數(shù)緣由。

如圖所示。如果我們把定義域區(qū)域b6的視角改變到r4的話，定義域就和不飽和魚(yú)所給的定義域完全一樣了。

當(dāng)然了，至于為什么可以這么切換視角，你可以嘗試自己論證這一點(diǎn)，你可以通過(guò)秩在切換視角后依舊不產(chǎn)生變化這一點(diǎn)來(lái)論證它。

我們?cè)賮?lái)看一則示例，這一則示例則更像是第一例里那樣的刪數(shù)邏輯樣式。

如圖所示，細(xì)數(shù)定義域區(qū)域和刪除域區(qū)域，定義域區(qū)域一共4個(gè)，分別是b2356；而刪除域區(qū)域則是r23456，一共5個(gè)區(qū)域。如果r5c23(3)其中有一個(gè)為真，都會(huì)使得結(jié)構(gòu)只剩下{r2c57, r3c69, r4c59, r6c67}(3)，不論如何填入3，都會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。因?yàn)樵緍789c5679都是不含有候選數(shù)3的，這使得3只能放在上面的單元格里；而由于r5c23(3)其一成立的關(guān)系，使得3的位置變?yōu)轭愃朴谥暗谝粍t示例的樣子，導(dǎo)致無(wú)法填數(shù)。當(dāng)然，通過(guò)秩來(lái)解釋就是，結(jié)構(gòu)涉及的定義域和刪除域個(gè)數(shù)發(fā)生了變化，導(dǎo)致差值為負(fù)數(shù)，出現(xiàn)了矛盾。

當(dāng)然，這個(gè)題更為簡(jiǎn)單的理解方式就是轉(zhuǎn)化為之前看到過(guò)的一定矛盾的構(gòu)型：我們嘗試把b2356的定義域改變?yōu)閏5679，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上結(jié)構(gòu)就變?yōu)榱酥澳菢拥拿艿臉?gòu)型，你可以自己試試看。

2-2?不飽和五鏈列

如左圖所示，我們需要找到r345689b1一共7個(gè)刪除域區(qū)域才能實(shí)現(xiàn)全覆蓋。所以此時(shí)的魚(yú)的秩為7 - 5 = 2。假設(shè)r3c1 = 8，則結(jié)構(gòu)將會(huì)消失兩個(gè)刪除域區(qū)域b1和r3，而定義域區(qū)域不會(huì)消失。

似乎看起來(lái)秩變?yōu)?了。實(shí)則不然。它同時(shí)還影響著b47兩個(gè)宮，使得在b47里填入8的位置分別只能在{r4c3, r56c2}和{r8c3, r9c2}里。那么，這樣一來(lái)，仔細(xì)觀察c45填入8的地方，就可以發(fā)現(xiàn)，不論b6里填入8的位置在哪里，左側(cè)c23和c45填8的位置都能形成和之前示例完全一樣的構(gòu)型，而這種構(gòu)型在之前都已經(jīng)講得比較清楚了，所以這種結(jié)構(gòu)不用再去推導(dǎo)，就知道它一定是錯(cuò)誤的。所以，原假設(shè)錯(cuò)誤。

我們?cè)賮?lái)看一些這樣的示例。

如圖所示，這個(gè)結(jié)構(gòu)看起來(lái)好像秩為0，對(duì)吧。實(shí)際上你可以看到，如果照著結(jié)構(gòu)給出的樣子的話，r1c4(6)和r9c6(6)是無(wú)法覆蓋到的。所以，這個(gè)結(jié)構(gòu)的刪除域?qū)嶋H上是r34678b28，一共7個(gè)刪除域區(qū)域。

我們嘗試對(duì)兩個(gè)刪數(shù)逐個(gè)進(jìn)行討論。假設(shè)r7c8(6)為真，則會(huì)如何呢？

我們畫(huà)出這樣的一個(gè)推導(dǎo)過(guò)程。注意著不是鏈，所以沒(méi)有用實(shí)線虛線表達(dá)強(qiáng)弱關(guān)系。顯然，這樣畫(huà)出來(lái)后，打勾的就是我們假設(shè)填入的地方，打叉的則是不能填入的地方。那么我們?cè)俅吾槍?duì)剩余的部分執(zhí)行推導(dǎo)。

結(jié)構(gòu)因?yàn)樘钊肓藃6c9(6)，所以少了一個(gè)定義域區(qū)域，而刪除域區(qū)域少了幾個(gè)呢？r6是肯定會(huì)消失的，而原假設(shè)r7c8(6)使得r7刪除域區(qū)域消失，所以少了兩個(gè)。現(xiàn)在依然沒(méi)有矛盾，我們還得繼續(xù)去發(fā)現(xiàn)。

接著我們觀察左圖，圖中有一個(gè)在c34上的摩天樓，于是得到r3c56 <> 6的結(jié)果，此時(shí)觀察c5，發(fā)現(xiàn)6有出數(shù)，于是變?yōu)橛覉D的狀況。此時(shí)就可以發(fā)現(xiàn)，c6無(wú)法填入數(shù)字6，出現(xiàn)錯(cuò)誤。所以，原本的假設(shè)r7c8(6)是錯(cuò)誤的，應(yīng)當(dāng)刪除掉。

別急，這個(gè)示例還有一個(gè)r8c1(6)的刪數(shù)我們還沒(méi)有說(shuō)明。

如圖所示，似乎設(shè)定r8c1(6)為真，更難分析得到結(jié)論。是的，確實(shí)它比較復(fù)雜，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)到的第一步就遇到了瓶頸：我們好像無(wú)法繼續(xù)推導(dǎo)了，因?yàn)闆](méi)有一處可以出數(shù)。不過(guò)我們不能灰心，實(shí)際上是有辦法解決掉這個(gè)瓶頸的。

先看左圖，可以看到，結(jié)構(gòu)里有一個(gè)同數(shù)環(huán)結(jié)構(gòu)。而刪數(shù)是通過(guò)環(huán)結(jié)構(gòu)的定義得到的，即弱關(guān)系對(duì)應(yīng)的區(qū)域，所以結(jié)構(gòu)里可以刪除的地方是r3c6(6)和r7c4(6)。在刪除了它們后，我們?cè)賮?lái)看右圖。右圖里由于刪除了剛才給出的兩處地方，所以剩余的部分里可以找到兩個(gè)摩天樓，得到刪數(shù)r3c5(6)和r7c5(6)。

此時(shí)就可以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題了：定義域區(qū)域c5里無(wú)法找到合適的地方填6了，所以出現(xiàn)了矛盾，所以原假設(shè)r8c1(6)錯(cuò)誤，應(yīng)當(dāng)刪除掉。

看了這么多例子了，我相信你應(yīng)該有所感受。我們尋找刪數(shù)矛盾，總是通過(guò)試填的方式來(lái)證明矛盾的出現(xiàn)，矛盾的出現(xiàn)也都只是利用結(jié)構(gòu)內(nèi)部（即定義域里）的所有候選數(shù)而已，并未涉及外部的任何其它的候選數(shù)。這也算作一種約定俗成的方式。

實(shí)際上，我們完全可以利用外部的數(shù)字來(lái)推導(dǎo)矛盾，但涉及的東西就比較多了，而且顯得比較暴力。就好比UR里，我們通過(guò)強(qiáng)制UR的思路可以得到，實(shí)際上它也僅僅是利用了UR結(jié)構(gòu)內(nèi)部的候選數(shù)和共軛對(duì)來(lái)推導(dǎo)矛盾的，并沒(méi)有涉及外部的其它任何數(shù)字。

我們?cè)賮?lái)看一則相對(duì)熟悉的例子。

如圖所示。我們假設(shè)r3c2(5)或r6c3(5)其一成立的話，它們的位置看起來(lái)似乎是影響差不多的。比如r3c2(5)如果為真，則顯然會(huì)使得r12c3(5)和r45c2(5)同假，而r6c3(5)也會(huì)導(dǎo)致一樣的情況出現(xiàn)。所以我們可以斷言，如果r3c2(5)可以刪除，那么r6c3(5)也可以刪除，我們就不必兩個(gè)候選數(shù)都推理一遍了。

我們假設(shè)r3c2(5)為真，則可以得到下面圖中給出的樣子。

看起來(lái)定義域區(qū)域是5個(gè)，刪除域區(qū)域也是5個(gè)，但結(jié)構(gòu)出錯(cuò)了嗎？確實(shí)是出錯(cuò)了。我們嘗試觀察b9，任意一處填數(shù)都會(huì)使得上方給出的r1245四行定義域區(qū)域出現(xiàn)類似于之前遇到過(guò)很多次的出錯(cuò)構(gòu)型。所以，整體這個(gè)結(jié)構(gòu)必然是錯(cuò)誤的。這便得到了最開(kāi)始假設(shè)的矛盾，故r3c2(5)是可以刪除的；當(dāng)然，r6c3(5)也是一樣的。

和上面差不多的出錯(cuò)方式的示例還有下面這一個(gè)。

如左圖所示，如果我們嘗試假設(shè)r3c3(4)為真，則由于r4共軛對(duì)的關(guān)系，直接可以得到r5c4(4)為真，于是依然出現(xiàn)了如右圖所示的出錯(cuò)構(gòu)型。

所以，這些例子都還是比較清晰和神奇的。我們?cè)賮?lái)看一則利用魚(yú)鰭推導(dǎo)的。

如圖所示，這個(gè)結(jié)構(gòu)飽和五個(gè)定義域區(qū)域和五個(gè)刪除域區(qū)域，不過(guò)含有四個(gè)魚(yú)鰭，而且四個(gè)魚(yú)鰭不都能直接得到刪數(shù)的成立。不過(guò)我們依然可以嘗試?yán)迷囂畹姆绞絹?lái)得到矛盾。首先，兩個(gè)外魚(yú)鰭是可以直接對(duì)應(yīng)刪數(shù)的，所以我們就不再討論它們了。接著我們來(lái)討論兩個(gè)內(nèi)魚(yú)鰭的情況。

如左圖所示，假設(shè)r5c5(7)成立，則我們可以依次得到r4c7(7)和r8c1(7)為真的結(jié)果，由于r8c1(7)的成立，所以此時(shí)是可以刪除r6c1(7)的。

如右圖所示，假設(shè)r8c5(7)成立，則排除掉一些情況，我們發(fā)現(xiàn)剩余部分里，r59形成了一個(gè)二鏈列結(jié)構(gòu)，而這個(gè)二鏈列依舊可以刪除r6c1(7)。

所以實(shí)際上，兩個(gè)內(nèi)魚(yú)鰭依舊可以對(duì)應(yīng)到刪數(shù)，所以刪數(shù)r6c1(7)不論哪個(gè)魚(yú)鰭成立都可以刪除掉；而且魚(yú)結(jié)構(gòu)的刪除域也包含r6c1(7)，所以它可以安全地被刪除。

這一則示例之所以放在不飽和魚(yú)里講解，是因?yàn)檫@一則示例也是通過(guò)不飽和魚(yú)的結(jié)構(gòu)包裝得到的構(gòu)型。如果你在做題過(guò)程之中能發(fā)現(xiàn)這樣的形式的結(jié)構(gòu)，我們就可以通過(guò)利用魚(yú)鰭的方式來(lái)討論，把結(jié)構(gòu)變?yōu)橹葹?的飽和魚(yú)結(jié)構(gòu)，這樣看起來(lái)邏輯比起之前的示例要清晰一些。

如圖所示，這是一個(gè)交叉五鏈列，看起來(lái)還不錯(cuò)，不過(guò)多了兩個(gè)內(nèi)魚(yú)鰭。我們嘗試逐個(gè)進(jìn)行討論。

如圖所示，這是兩個(gè)討論情況。可以看到的是，不論哪種情況成立，刪數(shù)都是可以刪掉的，因?yàn)樽罱K我們都會(huì)在b46里發(fā)現(xiàn)一組級(jí)聯(lián)區(qū)塊結(jié)構(gòu)。級(jí)聯(lián)區(qū)塊可以當(dāng)作X-Wing使用，而它們都會(huì)刪除r4這一個(gè)區(qū)域的6。

如左圖所示，我們找到一個(gè)交叉五鏈列結(jié)構(gòu)，不過(guò)刪除域區(qū)域比較多，要想覆蓋完整就需要r1678b2368一共8個(gè)區(qū)域才行。不過(guò)不要緊，刪除域區(qū)域再多也不害怕，因?yàn)閯h數(shù)一定是在刪除域區(qū)域上的。那么假設(shè)我們讓r6c9(5)為真，會(huì)如何呢？

如右圖所示，我們按照順序推導(dǎo)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，b3里同時(shí)出現(xiàn)兩處填入5的地方，這便是產(chǎn)生了矛盾。所以原來(lái)的假設(shè)是錯(cuò)誤的。

那么，我們給出了這么多例子，下面再給出兩則示例，希望你能夠自己理解它們。

這一則示例看起來(lái)比較麻煩，但實(shí)際上并不難。

這一則也是一樣。

2-3?不飽和六鏈列

接下來(lái)我們來(lái)看一些不飽和六鏈列的示例。

如左圖所示，這個(gè)示例看起來(lái)很漂亮，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)高度對(duì)稱。假設(shè)r6c5(9)為真，則變?yōu)橛覉D這樣。

右圖看起來(lái)似乎很麻煩，但實(shí)際上，它可以轉(zhuǎn)化為之前我們就講到過(guò)很多次的矛盾的構(gòu)型。我們隨意拿出一處定義域區(qū)域的兩個(gè)情況來(lái)進(jìn)行討論，就可以發(fā)現(xiàn)討論后一定會(huì)出現(xiàn)矛盾，這里我們就不重復(fù)給出示例的推導(dǎo)過(guò)程了，你可以自己試試看。

如圖所示，假設(shè)r5c2(2)為真，則會(huì)產(chǎn)生矛盾。這一則示例就自己理解了，我們不再重復(fù)敘述它的具體邏輯。

Part 3?最后的介紹

魚(yú)的內(nèi)容就全部說(shuō)完了，最后我們需要介紹一些理論的內(nèi)容，以便編寫(xiě)電腦程序，或者書(shū)寫(xiě)參考文檔時(shí)使用。

3-1?為什么同數(shù)技巧全都可以叫做魚(yú)？

這一點(diǎn)我們其實(shí)看過(guò)眾多例子了，所以我們不必過(guò)多敘述就能明白這一點(diǎn)。二階的魚(yú)結(jié)構(gòu)我們可以轉(zhuǎn)化變?yōu)殒溄Y(jié)構(gòu)，例如雙強(qiáng)鏈，或者帶有區(qū)塊的雙強(qiáng)鏈結(jié)構(gòu)；而三階的甚至更高階的，我們都可以通過(guò)魚(yú)鰭的包裝來(lái)得到推導(dǎo)；而包裝比較麻煩的，可以通過(guò)遠(yuǎn)程試填來(lái)得到矛盾，或者甚至不用包裝魚(yú)鰭，直接上手就開(kāi)始找內(nèi)部的矛盾。所以，所有同數(shù)技巧其實(shí)都可以包裝形成魚(yú)結(jié)構(gòu)。

3-2 自噬為什么是魚(yú)的內(nèi)容，而不是其它技巧的內(nèi)容？

這一點(diǎn)我們也不必去過(guò)多敘述了。自噬就是通過(guò)刪除域區(qū)域的交集而產(chǎn)生的一種特殊刪數(shù)。如果它還在定義域區(qū)域上，那么刪除它的原因就是因?yàn)樵窘Y(jié)構(gòu)的秩為0，而因?yàn)樘钊牒?，定義域區(qū)域少一個(gè)，而刪除域區(qū)域少兩個(gè)，秩變?yōu)?1，出現(xiàn)了矛盾。

不過(guò)可以通過(guò)魚(yú)結(jié)構(gòu)的理論知道，當(dāng)魚(yú)結(jié)構(gòu)本身的秩就已經(jīng)不是0的時(shí)候，我們并不難妄自下結(jié)論，說(shuō)某個(gè)處于刪除域交集上的候選數(shù)依舊是自噬刪數(shù)。這樣是不對(duì)的，因?yàn)樗词固钊耄~(yú)結(jié)構(gòu)的秩也不能保證變?yōu)槎嗌?；更何況有一大部分魚(yú)結(jié)構(gòu)的秩并不是結(jié)構(gòu)得到0就必然能夠得到刪除域區(qū)域全刪的結(jié)論的。

3-3 魚(yú)的系統(tǒng)命名規(guī)則

我們先來(lái)說(shuō)說(shuō)飽和魚(yú)結(jié)構(gòu)（即定義域區(qū)域和刪除域區(qū)域數(shù)相同，且全覆蓋的情況）的命名規(guī)則。

我們有如下的順序來(lái)修飾一個(gè)魚(yú)：

解釋如下：

• 鰭化修飾符：表示鰭影響到結(jié)構(gòu)的類型。有三種鰭化類型：標(biāo)準(zhǔn)（Basic）、退化（Sashimi）和孿生（Siamese）。當(dāng)為“標(biāo)準(zhǔn)”時(shí)，應(yīng)當(dāng)省略不寫(xiě)。且“退化”一詞的位置應(yīng)調(diào)整至鰭名修飾符之后。

• 鰭數(shù)量修飾符：表示有多少個(gè)鰭。如果有多種鰭，則按照外鰭、內(nèi)鰭、自噬鰭的順序排列。如果同一種鰭只有一個(gè)或兩個(gè)的，則使用單（Single）和雙（Double）修飾，超過(guò)兩個(gè)的，則使用漢字?jǐn)?shù)字三（Triple）、四（Quadruple）、五（Quintuple）等表示。

• 鰭名修飾符：表示鰭的名字。有兩種鰭：外鰭（Exo-fin）、內(nèi)鰭（Endo-fin）。拼寫(xiě)時(shí)應(yīng)按照此順序排列，并配合鰭數(shù)量修飾符描述。

• 形狀修飾符：表示形狀。一共有三種形狀：標(biāo)準(zhǔn)（Basic）、宮內(nèi)（Franken）、交叉（Mutant）；標(biāo)準(zhǔn)鏈列（標(biāo)準(zhǔn)魚(yú)）的“標(biāo)準(zhǔn)”一詞一般可以省略。

• 規(guī)格修飾符：表示規(guī)格。規(guī)格取自于結(jié)構(gòu)的定義域區(qū)域數(shù)。一般一共有六種規(guī)格（范圍在 2 到 7 之間），使用漢字?jǐn)?shù)字后添加“鏈列”二字即可。超過(guò)其規(guī)格的，仍使用數(shù)字，但結(jié)構(gòu)本身一般不符合其標(biāo)準(zhǔn)；英文里一般有六種規(guī)格（范圍在2到7之間）：X-Wing、Swordfish、Jellyfish、Squirmbag（或Starfish）、Whale、Leviathan。超過(guò)其規(guī)格的，使用“數(shù)字 + 連字符 + Fish”的寫(xiě)法，如8-Fish，但結(jié)構(gòu)本身一般不符合其標(biāo)準(zhǔn)。

合格的命名可以是如下的示例：

• 雙外鰭單內(nèi)鰭退化宮內(nèi)五鏈列

• 四外鰭三鏈列

當(dāng)然，你也可以使用D\S描述（D\S Description）來(lái)描述魚(yú)結(jié)構(gòu)。如：

• rrb\ccc魚(yú)（三階、宮內(nèi)）

• ccbb\rrrc魚(yú)（四階、交叉）

其中用r表示一個(gè)行區(qū)域，c表示一個(gè)列區(qū)域，b表示一個(gè)宮區(qū)域。反斜杠左側(cè)的部分是魚(yú)的定義域涉及的區(qū)域的類型集合，右邊則是刪除域區(qū)域涉及的區(qū)域集合。

當(dāng)然，也可以直接將定義域區(qū)域和刪除域區(qū)域、結(jié)構(gòu)涉及的數(shù)字、甚至是魚(yú)鰭體現(xiàn)在其中。涉及的數(shù)字應(yīng)寫(xiě)在D\S描述的前面，而魚(yú)鰭應(yīng)寫(xiě)在D\S描述之后，用空格隔開(kāi)，且使用字母f、ef前綴表示屬于外鰭還是內(nèi)鰭，并且以“外鰭、內(nèi)鰭”的順序排放。如：

• 2 r19b26\c578b1 fr3c6 fr9c3

• 1 r9c4b6\r47c8 fr9c3

• 9 c29b6\r468 efr4c9

這樣可以直接看出規(guī)格、形狀。其中的fr3c6就是指明有一個(gè)外鰭位于r3c6。第一個(gè)示例涉及的候選數(shù)是2，而第二個(gè)示例涉及的則是1。當(dāng)詳細(xì)描述時(shí)，末尾的“魚(yú)”字可以被省略。

當(dāng)魚(yú)的定義域區(qū)域數(shù)少于刪除域區(qū)域數(shù)時(shí)，稱為不飽和魚(yú)。這個(gè)術(shù)語(yǔ)詞已經(jīng)在之前提到過(guò)了。

當(dāng)不飽和時(shí)，刪除域區(qū)域數(shù)大于定義域區(qū)域數(shù)，此時(shí)應(yīng)為魚(yú)名稱最前面添加“不飽和”一詞，規(guī)格按照定義域區(qū)域數(shù)計(jì)算。比如定義域區(qū)域有4個(gè)，而刪除域區(qū)域有5個(gè)，則我們認(rèn)為結(jié)構(gòu)是一個(gè)四鏈列，而不是五鏈列。

3-4 魚(yú)圖的符號(hào)規(guī)則

魚(yú)圖里一般想要表達(dá)出意思，需要不同的符號(hào)標(biāo)識(shí)來(lái)表達(dá)。下面羅列出所有需要用到的符號(hào)。

• 永假符號(hào)/：放到單元格里，表示該單元格不能放入魚(yú)涉及的這個(gè)數(shù)；

• 魚(yú)結(jié)構(gòu)符號(hào)x：表示當(dāng)前單元格可能填入這個(gè)數(shù)字；

• 刪數(shù)符號(hào)*：表示當(dāng)前單元格可以通過(guò)結(jié)構(gòu)刪除該單元格的這個(gè)數(shù)字；

• 外魚(yú)鰭符號(hào)F或&：表示當(dāng)前單元格的這個(gè)數(shù)字是作為外魚(yú)鰭出現(xiàn)的；

• 內(nèi)魚(yú)鰭符號(hào)E或@：表示當(dāng)前單元格的這個(gè)數(shù)字是作為內(nèi)魚(yú)鰭出現(xiàn)的；

• 自噬符號(hào)C或*x：表示當(dāng)前單元格的這個(gè)數(shù)字是作為自噬刪數(shù)出現(xiàn)的；

• 重刪數(shù)符號(hào)**：表示當(dāng)前單元格在一個(gè)飽和魚(yú)結(jié)構(gòu)不論魚(yú)鰭是否成立，都能刪除的地方；

• 殘缺符號(hào)I或!：表示當(dāng)前單元格是結(jié)構(gòu)不一定必需涉及的地方，它可以不存在，結(jié)構(gòu)照樣成立，且刪數(shù)成立；

• 未知符號(hào)?：表示當(dāng)前單元格的刪數(shù)是否成立，并不清楚。