#練習(xí)生打卡

一、討論度量的意義：把收斂性、連續(xù)性推廣離不開(kāi)度量的定義。

二、繼續(xù)等價(jià)度量的話(huà)題。

（滿(mǎn)足雙Lipschitz條件）

1.一個(gè)等價(jià)度量的例子。

圓周上，兩點(diǎn)的直線(xiàn)距離（d?）、兩點(diǎn)之間較短圓弧的弧長(zhǎng)（d?）。

證明略。

2.一個(gè)不是等價(jià)度量的例子。

C[0,1]中，L∞和L1。

①證法一：找到｛fn｝,｛gn｝使得sup d∞/d?=+∞。

令φ(x)=x/(1+x?sin2x)，f(x)=φ[x+(nπ-1/2)]，g≡0

則d∞(f,g)=nπ

d?(f,g)≤2π2/n2

于是sup d∞/d?=+∞。因此這一側(cè)不滿(mǎn)足Lipschitz條件

②證法二：用Cauchy列定義展示x?在L∞度量下不是Cauchy列，而在L1度量下是Cauchy列。

可以算出d∞(fn,fn+p)→1，d?(fn,fn+p)→0

③另一種展現(xiàn)x?在[0,1]上不是Cauchy列的方式。

（?。┫茸C例2.46，即函數(shù)空間C[0,1]在度量下是完備的。

基于三條重要定理。

a.由一致收斂的Cauchy原理知｛fn｝一致收斂。設(shè)收斂到f。

b.｛fn｝一致收到f等價(jià)于在L∞度量下收斂到f。

c.最終由極限換序定理知f在C[0,1]上連續(xù)，即f在空間上。

（ⅱ）以上證明保證了fn一致收斂?它在L∞下Cauchy收斂。

所以x?在[0,1]不一致收斂?它在L∞上不是Cauchy列。

3.IR?中度量不一定等價(jià)，如d(x,y)=‖x-y‖和d'(x,y)=‖x-y‖1/2；

但是IR?中由范數(shù)誘導(dǎo)的度量都是等價(jià)的。