顯式幾何內(nèi)容放在了上一講中

本節(jié)內(nèi)容

貝塞爾曲線

貝塞爾曲線用一系列的控制點去定義某個曲線，需要滿足一些性質，比如曲線方向要朝著p0到p1方向走，再到p2，最后到p3，并且起止點必須為p0、p3

貝塞爾曲線運用德卡斯特里奧（de Casteljau）算法 生成二次貝塞爾曲線：

定義三個點 -> 根據(jù)任意的 t 插值出點 -> 不斷重復 t在[0,1]間不斷取值 -> 得到曲線

（二次貝塞爾曲線采用了遞歸的方式，并且需要盡量多的加入ｔ值去得到曲線想要的點）

三個點的應用

四個點的應用

二次貝塞爾曲線動畫

貝塞爾曲線的代數(shù)表示

在每兩個之間找一個時間t，相當于每兩個之間線性插值

把算法過程寫成代數(shù)的形式（如圖）

推廣到n階，不難發(fā)現(xiàn)這其實是一個符合二項分布的多項式

舉例：三次貝塞爾曲線的代數(shù)表示

貝塞爾曲線的性質

１．對稱性：第ｉ項系數(shù)和倒數(shù)第ｉ項系數(shù)相同

２．必過起點終點，起始切線方向為前兩個點連接的方向，終止切線方向為結尾兩個點連接的方向

３．在仿射變換下，只需要對頂點做仿射變換，就能得到這個貝塞爾曲線在仿射變換下的結果

４．凸包性質：貝塞爾曲線始終會在包含了所有控制點的最小凸多邊形中, 而不是按照控制點的順序圍成的最小多邊形

逐段貝塞爾曲線

控制點多了以后，貝塞爾曲線并不直觀，很難控制，于是我們想到可以每次定義一段貝塞爾曲線，然后連起來

普遍習慣每四個控制點定義一段，并略去中間兩點間的連線

但如何保證連起來的曲線是光滑的呢？

起點的兩個切線導數(shù)相等（不僅方向一樣，大小也一樣）

－－逐段貝塞爾曲線連續(xù)性（分為點連續(xù)和切線連續(xù)）

當然也會有更高的連續(xù)性要求比如ｃ２等（ｃ２不知道）

樣條曲線－－其他類型的曲線

樣條：連續(xù)的曲線，由一系列控制點控制，滿足一定的連續(xù)性，即可控的曲線

B樣條曲線有關信息可以參考：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/50626506

https://www.bilibili.com/video/BV13441127CH?p=13 胡事民老師的課

B樣條曲線（別稱基函數(shù)樣條）需要比貝塞爾曲線更多的信息，并滿足所有貝塞爾曲線的重要性質