函數(shù)連續(xù)定義如下：

簡(jiǎn)單說(shuō)，就是自變量的變化量趨于0的時(shí)候，函數(shù)值的變化量也趨于0。

如上圖所示，我們可以把函數(shù)連續(xù)的含義理解為紅色小球沿著曲線下滑的過(guò)程：當(dāng)自變量

Δx 趨于0的過(guò)程中，Δy?也趨于0。也可以想象x0+Δx點(diǎn)上的那根垂線，被強(qiáng)行向左拉到x0點(diǎn)，這個(gè)過(guò)程中，Δy的高度可以看作是Δx變小的過(guò)程中被強(qiáng)行壓縮到0。

上圖的證明表示，Δ?y等于0是被Δ?x拖動(dòng)到0，因?yàn)榈诙€(gè)等號(hào)中每一項(xiàng)都存在Δ?x,因此Δ?y完全可以看作是被Δ?x迫使到0。而且上圖中的Δy是等于0，而不是約等于，這是因?yàn)棣?x是無(wú)窮小，是沒(méi)辦法用任何數(shù)字表示出來(lái)的，因此，導(dǎo)致Δy也無(wú)法用任何數(shù)字表示，只能認(rèn)為是等于0，這是一種強(qiáng)制性的等于0，而不是約等于，與1+0.0000001約等于1有著本質(zhì)的區(qū)別，后者是人為的忽略導(dǎo)致的。

Δy=(x+Δx)^n-(x)^n
= x^n + nx^(n-1)Δx +... + nCrx^(n-r) (Δx)^r +...+ nx(Δx)^(n-1) + (Δx)^n-x^n

=nx^(n-1)Δx +... + nCrx^(n-r) (Δx)^r +...+ nx(Δx)^(n-1)
where
nCr = n!/(r!(n-r)!)

從以上推導(dǎo)看出，對(duì)于x的n次方來(lái)說(shuō)，求差以后每一項(xiàng)中也都出現(xiàn)了Δx，因此Δy肯定會(huì)變成為0。由以上分析似乎可以看出，連續(xù)就意味著Δy的每一項(xiàng)中都有Δx的乘積項(xiàng)。

從上圖看到，Δy的乘積中如果沒(méi)有Δx，也可以通過(guò)數(shù)學(xué)變換讓其出現(xiàn)。當(dāng)然還有別的情況，比如指數(shù)函數(shù)a^x。

函數(shù)連續(xù)的第二種定義如下：

這個(gè)定義其實(shí)和前一種定義是一樣的。

那么，什么情況下不連續(xù)呢？

上圖中我們看到，當(dāng)Δx從左右兩邊趨向0時(shí)，其目的地f(0)不一樣，而圖1中不管Δx從左還是右趨向x0的時(shí)候，目的地都是f(x0)。

還有下圖情況。這里x0=0，因?yàn)槟康狞c(diǎn)f(x0)是無(wú)窮大，而無(wú)窮大我們是不知道到底在哪里的，所以我們認(rèn)為這種情況也是不連續(xù)的。

下圖則是不但不知道目的點(diǎn)f(x0)在哪里，而且左右目的點(diǎn)不相同。

下圖則是每一個(gè)點(diǎn)都不連續(xù)的函數(shù)：

因?yàn)閿?shù)軸上任意兩個(gè)點(diǎn)（包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)）之間，都包含無(wú)窮多個(gè)其它的有理數(shù)和無(wú)理數(shù)點(diǎn)。

綜上：

1：連續(xù)就是當(dāng)Δ?x趨于0時(shí)強(qiáng)制把Δ?y也趨于0，從而到達(dá)目的地f(x0)。

2：當(dāng)Δ?x從左右兩邊趨于0而到達(dá)的目的點(diǎn)不一致，或者目的點(diǎn)不確定的時(shí)候，這種情況下函數(shù)不連續(xù)。