本文節(jié)選自淡藍小點PRML Page-by-page項目notes第一章1-020說明點（對應PRML page18）。第一章視頻還未在B站上傳（還有部分剪輯校對工作未完成），需要notes的朋友請加微信（微信名：淡藍小點Bluedotdot，微信號：bluedotdot_cn）索取。淡藍小點網(wǎng)站（https://bluedotdot.cn, https://bluedotdot.com.cn）還在建設中，暫時不能訪問！

設是一個關于的概率密度函數(shù)，現(xiàn)有函數(shù)變換使得且為雙射，要求關于的概率密度函數(shù)，應該怎么求？一種最想當然的想法就是將代入替換掉里面的變成。但這是不是就是的概率密度函數(shù)了？答案是否定的。用替換后的正確結果如下式所示（也就是PRML的1.27式）

它比直接替換多了一個求導的絕對值項。試舉一列，設在范圍內均勻分布，所以。令也就是。如果直接替換的話有

注意，是個常函數(shù)，跟變量的變化無關，所以變換后仍有。因為所以自然有。所以上式積分則有

可見，積分并不等于1，所以一定不是合法的概率密度。而根據(jù)1.27式得到的結果為

所以積分為

那么書上的1.27式是如何得到的了（可參考MLAPP的2.6.2）？前面給出的變化式是，現(xiàn)在假設，也就是。設是的累積分布函數(shù)，也就是

所以有

注意，這里的就是我們要求的的概率密度。而用替換得到

當是遞增函數(shù)時可以表示為，因為此時有。當是遞減函數(shù)時可表示為，因為此時有，所以上式可寫為

因此有

最后一步是因為若是遞增函數(shù)，則必有（導數(shù)大于零函數(shù)值遞增），所以也有（可把后者看作前者的倒數(shù)）；若是遞減函數(shù)，則必有，所以也有。所以有

至此我們就得到了書上的1.27式。當然，我們也可以從另一種角度來看1.27式的推導過程。設的取值范圍為，的取值范圍為。根據(jù)是遞增還是遞減，我們有

所以有

我們已經(jīng)推導了隨機變量概率密度，現(xiàn)在討論極值的問題。假設為的眾數(shù)(即為的最大值，相當于)。

是否能得出結論也為的眾數(shù)了？答案也是否定的，即通常情況下不一定是最大值，也就是通常都有。再通俗一點就是說，不能通過求的極大似然估計得到，再將代入得到當作的極大似然估計結果。

但是要注意，這里說的是常用。也就是說在特殊情況，即為線性變換時，上述結論是成立的。也就是當為線性變換時，也是的極大似然估計。下面來證明這一點。

根據(jù)1.27式我們有，其中對應去絕對值后的符號?；谶@個公式有：

假設是的極值點，則根據(jù)得到的（滿足）是否一定是的極值點了？即是否一定有了？將代入上式后有

上式右邊第一項必為0因為有，但第二項就不一定為0了......

【本問題未完結，但至此已達到B站插入公式數(shù)量上限量，無法繼續(xù)刊載，請需要的朋友聯(lián)系我拿notes...】