數(shù)軸上的點(diǎn)與無窮小的關(guān)系理解

2023-02-25 21:35 作者:我愛計(jì)算機(jī)科學(xué) 0人讀過 | 我要投稿

作者在《數(shù)軸是一根連續(xù)的直線嗎》一文中，對(duì)數(shù)軸

進(jìn)行過介紹，數(shù)軸不是連續(xù)的，而是點(diǎn)與點(diǎn)之間有間隔的：

雖然這個(gè)間隔可以任意小，但間隔終歸存在。數(shù)軸上每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)字。

首先明確數(shù)學(xué)上的點(diǎn)確實(shí)沒有大小，因?yàn)閿?shù)學(xué)理論認(rèn)為，任意相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間，肯定存在無窮多個(gè)其它的點(diǎn)。如果點(diǎn)有大小，這個(gè)理論肯定不成立，因?yàn)橹灰写笮?，總有塞不下的時(shí)候。

正是由于點(diǎn)沒有大小，而點(diǎn)與點(diǎn)之間又肯定存在間隔，同時(shí)考慮到數(shù)學(xué)上無窮小比0大，但又比任何一個(gè)確定的數(shù)字都小的定義，所以我們可以這樣假設(shè)：

即數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)的后面都拖著一個(gè)無窮小的尾巴。這樣的假設(shè)與數(shù)學(xué)理論不存在矛盾：因?yàn)閿?shù)軸上任意兩個(gè)點(diǎn)之間的間隔都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的數(shù)字，而這個(gè)無窮小的長(zhǎng)度比任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)之間的間隔都小。注意上圖中的無窮小沒有和它右邊的點(diǎn)連在一起，以表示Δx比任何一個(gè)確定的數(shù)字都小的意思。

基于圖2，我們可以把圖1中數(shù)軸上一個(gè)個(gè)分隔的點(diǎn)，想象成每一個(gè)點(diǎn)后面都拖著一個(gè)無窮小尾巴的樣子。圖2的模式，也可以讓我們很方便地理解很多微積分中的概念問題。

我們知道，定積分可以用來求曲邊梯形的面積：

按照一般教材中的方法，積分的計(jì)算分為四步：

1：分割；2：近似；3：求和；4：取極限

本文按照?qǐng)D2的方法，將圖3的其中一個(gè)梯形重新畫在下圖：

由于假設(shè)每一個(gè)Δx區(qū)間只和它的左端點(diǎn)相連，因此上圖中的Δx區(qū)域只有點(diǎn)x對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的數(shù)字，與此相對(duì)應(yīng)，曲線上點(diǎn)f(x)到點(diǎn)d這段弧線內(nèi)，也只有點(diǎn)f(x)對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的數(shù)字，由此得出結(jié)論，上圖中的矩形面積f(x)Δx其實(shí)是確定的，而不是近似。這其實(shí)就是圖4中第二步和第四步共同作用的結(jié)果。圖4中第二步的近似其實(shí)是假設(shè)點(diǎn)f(x)到點(diǎn)d這段弧線內(nèi)存在無窮多個(gè)其它的點(diǎn)，而第四步取極限就得到上圖的結(jié)果，也就是每個(gè)矩形只包含一個(gè)具有對(duì)應(yīng)數(shù)值的點(diǎn)x或者點(diǎn)f(x)。

通過分割、求和、取極限之后得到的定積分值，就是曲邊梯形的面積：

我們注意到，上式中用的是等號(hào)，也就是說，曲邊梯形的面積嚴(yán)格等于上式中的極限求和。

但是，我們從上圖可以看到，似乎無論怎么接近，藍(lán)色部分的面積與曲邊三角形的面積之間，好像永遠(yuǎn)存在著綠色的差距部分。那為什么取極限之后，這個(gè)差距部分就徹底消失了呢？關(guān)于這個(gè)問題，本文作者在《從高階無窮小的角度理解積分為什么是精確值》一文中進(jìn)行了詳細(xì)介紹。

按照?qǐng)D2的方法，我們也可以很方便地理解變速運(yùn)動(dòng)的距離求和問題：