本文是本人給出的2021年復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)的每周一題[問(wèn)題2021A11]的解答

題目來(lái)自于復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻教授在他的博客提供的每周一題練習(xí)

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[問(wèn)題2021A11]設(shè)矩陣A的秩為r，B是矩陣，C是矩陣.證明：是A的滿秩分解當(dāng)且僅當(dāng)B的r個(gè)列向量是A的n個(gè)列向量張成線性空間的一組基，也當(dāng)且僅當(dāng)C的r個(gè)行向量是A的m個(gè)行向量張成線性空間的一組基.

解? 現(xiàn)在證明下面三個(gè)命題相互等價(jià)：

(1)是的滿秩分解;

(2)B的r個(gè)列向量是A的n個(gè)列向量張成線性空間的一組基;

(3)C的r個(gè)行向量是A的m個(gè)行向量張成線性空間的一組基.

由對(duì)稱性，只需要證明與等價(jià)，與等價(jià)類似可得.首先證明

由定義，若是的滿秩分解，那么，從而B(niǎo)的r個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)，又注意到矩陣乘法的特點(diǎn)，我們不難發(fā)現(xiàn)A的列向量都是B的列向量的線性組合，從而B(niǎo)的r個(gè)列向量是A的n個(gè)列向量張成線性空間的一組基.

接下來(lái)證明

因?yàn)锽的r個(gè)列向量是A的n個(gè)列向量張成線性空間的一組基，于是我們可以取出一個(gè)矩陣C，讓C的每一列都是A的對(duì)應(yīng)列在B的r個(gè)列向量組成的一組基下的坐標(biāo)向量，由此C存在.

而

從而.于是是的滿秩分解.

從而是的滿秩分解當(dāng)且僅當(dāng)B的r個(gè)列向量是A的n個(gè)列向量張成線性空間的一組基.

取A轉(zhuǎn)置可以證明C的情況.于是我們得到證明.

注(1)這道題是復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)習(xí)題課_嗶哩嗶哩_bilibili的練習(xí)題2，之前已經(jīng)上傳到過(guò)我的專欄

(2)文末附上圖片格式的解法，有需要的讀者可以自行取用，僅供學(xué)習(xí)交流